Phương trình chứa căn – Bất phương trình cất căn

Các dạng phương trình đựng căn bậc hai, bất phương trình đựng căn thức bậc hai vẫn là một dạng toán lộ diện nhiều trong các kì thi học tập kì, thi tuyển chọn sinh vào lớp 10, thi THPTQG.

Bạn đang xem: Phương trình và bất phương trình

Để giải được phương trình, bất phương trình đựng căn, những em học sinh cần nắm vững kiến thức sau:

1. Qui định chung nhằm giải phương trình, bất phương trình đựng căn bậc 2

Nguyên tắc bình thường để khử dấu căn thức là bình phương 2 vế của một phương trình, bất phương trình. Mặc dù nhiên, để bảo đảm an toàn việc bình phương này cho bọn họ một phương trình, bất phương trình mới tương tự thì rất cần được có điều kiện cả 2 vế pt, bpt hầu như không âm.

Do đó, về bạn dạng chất, họ lần lượt khám nghiệm 2 trường hòa hợp âm, và không âm của các biểu thức (thường là 1 trong những vế của phương trình, bất phương trình đang cho).

2. Các dạng phương trình chứa căn, bất phương trình chứa nền tảng bản

Có khoảng chừng 4 dạng phương trình cất căn, bất phương trình cất căn cơ phiên bản đó là

*

3. Cách giải phương trình chứa căn, giải pháp giải bất phương trình cất căn

Chi máu về phương pháp giải các dạng phương trình, bất phương trình đựng căn, xin mời thầy cô và các em học sinh theo dõi trong video sau đây.

4. Một vài ví dụ về phương trình và bất phương trình chứa căn thức

Ví dụ 1. Giải phương trình

$$sqrt 4 + 2x – x^2 = x – 2$$

Hướng dẫn. Phương trình sẽ cho tương tự với

<eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx – 2 ge 0\4 + 2x – x^2 = (x – 2)^2endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 2\x^2 – 3x = 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 2\x = 0, vee ,x = 3endarray ight. \ Leftrightarrow x = 3endarray> Vậy phương trình đang cho tất cả nghiệm duy nhất $x = 3$.

Ví dụ 2. Giải phương trình

Hướng dẫn. Phương trình vẫn cho tương đương với

<eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx – 1 ge 0\25 – x^2 = (x – 1)^2endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 1\2x^2 – 2x – 24 = 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 1\x = 4, vee ,x = – 3endarray ight. \ Leftrightarrow x = 4endarray> Vậy phương trình gồm nghiệm độc nhất $x=4$.

Ví dụ 3. Giải phương trình

Hướng dẫn. Phương trình đang cho tương tự với

<eginarrayl,,,,,,,,sqrt 3x^2 – 9x + 1 = x – 2\, Leftrightarrow left{ eginarraylx – 2 ge 0\3x^2 – 9x + 1 = (x – 2)^2endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 2\2x^2 – 5x – 3 = 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 2\x = 3 vee ,x = – frac12endarray ight. \ Leftrightarrow x = 3endarray> Vậy phương trình vẫn cho tất cả nghiệm độc nhất $x = 3$.

Ví dụ 4. Giải phương trình $$sqrt x^2 – 3x + 2 = x – 1$$

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx – 1 ge 0\x^2 – 3x + 2 = left( x – 1 ight)^2endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 1\x = 1endarray ight. \ Leftrightarrow x = 1endarray$$ Vậy phương trình đang cho gồm nghiệm duy nhất $x = 1$.

Ví dụ 5. Giải phương trình $$sqrt x^2 – 5x + 4 = sqrt – 2x^2 – 3x + 12 $$

Hướng dẫn. Phương trình vẫn cho tương tự với $$eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx^2 – 5x + 4 ge 0\x^2 – 5x + 4 = – 2x^2 – 3x + 12endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylleft( x – 1 ight)left( x – 4 ight) ge 0\3x^2 – 2x – 8 = 0endarray ight. & \Leftrightarrow left{ eginarraylleft< eginarraylx le 1\x ge 4endarray ight.\left< eginarraylx = 2\x = frac – 86endarray ight.endarray ight. Leftrightarrow x = frac – 86endarray$$ Vậy phương trình đã cho gồm nghiệm duy nhất $x = frac-86$.

Ví dụ 6. Giải bất phương trình $$x + 1 ge sqrt 2left( x^2 – 1 ight) $$

Hướng dẫn. Bất phương trình đã cho tương đương với $$eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx + 1 ge 0\left( x + 1 ight)^2 ge 2left( x^2 – 1 ight) ge 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge – 1\x^2 – 2x – 3 le 0\x^2 – 1 ge 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge – 1\– 1 le x le 3\left< eginarraylx le – 1\x ge 1endarray ight.endarray ight. Leftrightarrow left< eginarraylx = – 1\1 le x le 3endarray ight.endarray$$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = left< 1;3 ight> cup left – 1 ight$.

Ví dụ 7. Giải bất phương trình $$2x – 5 left{ eginarrayl2x – 5 – x^2 + 4x – 3 ge 0endarray ight. Và left( 1 ight)\left{ eginarrayl2x – 5 ge 0\left( 2x – 5 ight)^2 endarray ight. Và left( 2 ight)endarray ight.$$

Hệ bất phương trình (1) tương tự với $$left{ eginarraylx 1 le x le 3endarray ight. Leftrightarrow 1 le x Hệ bất phương trình (2) tương tự với $$eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx ge frac52\5x^2 – 24x + 28 endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge frac52\2 endarray ight. Leftrightarrow frac52 le x endarray$$

Lấy đúng theo tập nghiệm của 2 trường đúng theo trên, được đáp số ở đầu cuối là $S = left< 1;frac145 ight)$.

Ví dụ 8. Giải phương trình $$sqrt x + 4 – sqrt 1 – x = sqrt 1 – 2x $$

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương tự với

$$eginarrayl,,,,,,,sqrt x + 4 = sqrt 1 – 2x + sqrt 1 – x \Leftrightarrow left{ eginarrayl– 4 le x le frac12\x + 4 = 1 – x + 2sqrt (1 – x)(1 – 2x) + 1 – 2xendarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarrayl– 4 le x le frac12\sqrt (1 – x)(1 – 2x) = 2x + 1endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarrayl– 4 le x le frac12\x ge – frac12\(1 – x)(1 – 2x) = 4x^2 + 4x + 1endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarrayl– frac12 le x le frac12\x = 0 vee x = – frac72endarray ight. Leftrightarrow x = 0endarray$$ Vậy phương trình đang cho gồm nghiệm tuyệt nhất $x = 0$.

Ví dụ 9. Giải phương trình $$sqrt 3x + 1 – sqrt 2x – 1 = sqrt 6 – x $$

Hướng dẫn. Điều khiếu nại $left{ eginalign & 3x+1ge 0 \ & 2x-1ge 0 \ và 6-xge 0 \ endalign ight.Leftrightarrow left{ frac12le xle 6 ight.$

Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với $$eginarrayl,,,,,,,sqrt 3x + 1 – sqrt 2x – 1 = sqrt 6 – x \Leftrightarrow ,,,sqrt 3x + 1 = sqrt 6 – x + sqrt 2x – 1 \Leftrightarrow ,,,3x + 1 = 6 – x + 2x – 1 + 2sqrt 6 – x sqrt 2x – 1 \Leftrightarrow ,,,2x – 4 = 2sqrt 6 – x sqrt 2x – 1 \Leftrightarrow ,,x – 2 = sqrt 6 – x sqrt 2x – 1 \Leftrightarrow ,,x^2 – 4x + 4 = – 2x^2 + 13x – 6,,,(x ge 2)\Leftrightarrow ,,3x^2 – 17x + 10 = 0\Leftrightarrow left< eginarraylx = 5\x = frac23left( l ight)endarray ight.endarray.$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=5$.

Ví dụ 10.

Xem thêm: Giải Bài 2 Trang 9 Sgk Toán 10 Sgk Đại Số 10, Giải Bài 1 2 3 4 5 6 7 Trang 9 10 Sgk Đại Số 10

Giải bất phương trình $$2sqrtx-3-frac12sqrt9-2xge frac32$$

Hướng dẫn. Điều khiếu nại $left{ eginalign và x-3ge 0 \ & 9-2xle 0 \ endalign ight.Leftrightarrow 3le xle frac92$

Với điều kiện trên, bất phương trình vẫn cho tương tự với <eginarrayl,,,,,,,2sqrt x – 3 ge frac12sqrt 9 – 2x + frac32\Leftrightarrow 4left( x – 3 ight) ge frac14left( 9 – 2x ight) + frac94 + frac32sqrt 9 – 2x \Leftrightarrow 16x – 48 ge 18 – 2x + 6sqrt 9 – 2x \Leftrightarrow 9x – 33 ge 3sqrt 9 – 2x \Leftrightarrow left{ eginarrayl18x – 64 ge 0\left( 9x – 33 ight)^2 ge 9left( 9 – 2x ight)endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge frac329\81x^2 – 576x + 1008 ge 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge frac329\left< eginarraylx le frac289\x ge 4endarray ight.endarray ight. Leftrightarrow x ge 4endarray>

Kết phù hợp với điều khiếu nại ta bao gồm tập nghiệm của bất phương trình là $S=left< 4;,frac92 ight>$.

Xem các ví dụ không giống nữa tại đây: Phương pháp đổi khác tương đương giải phương trình chứa căn