Trong chương trình lớp 9, phương trình bậc nhất 2 ẩn có 2 phương pháp để giải, đó là phương pháp cộng đại số và phương pháp thế, tất cả sự khác biệt nào về ưu nhược điểm của 2 phương pháp này.

Bạn đang xem: Giải hệ phương trình 2 ẩn bậc 2


Trong nội dung bài viết này, chúng ta cùng tìm hiểu 2 giải pháp giải trên đối với phương trình bậc nhất 2 ẩn. Giải các bài tập về hệ phương trình hàng đầu 2 ẩn cùng với từng cách thức cộng đại số và cách thức thế, đồng thời tìm hiểu các dạng toán về phương trình hàng đầu 2 ẩn, từ đó để thấy ưu điểm của mỗi phương thức và áp dụng linh hoạt trong mỗi bài toán vắt thể.

I. Cầm tắt lý thuyết về phương trình hàng đầu 2 ẩn

1. Phương trình số 1 2 ẩn

- Phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c với a, b, c ∈ R (a2 + b2 ≠ 0)

- Tập nghiệm của phương trình hàng đầu hai ẩn: Phương trình số 1 hai ẩn ax + by = c luôn luôn luôn tất cả vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi con đường thẳng (d): ax + by = c

Nếu a ≠ 0, b ≠ 0 thì con đường thẳng (d) là thứ thị hàm số :
*
Nếu a ≠ 0, b = 0 thì phương trình trở nên ax = c tốt x = c/a và mặt đường thẳng (d) tuy vậy song hoặc trùng với trục tungNếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình vươn lên là by = c hay y = c/b và mặt đường thẳng (d) tuy nhiên song hoặc trùng với trục hoành

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

+ Hệ phương trình hàng đầu 2 ẩn: 

*
 , trong kia a, b, c, a’, b’, c’ ∈ R

+ Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình hàng đầu hai ẩn

- call (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi đó ta có:

(d) // (d’) thì hệ vô nghiệm(d) cắt (d’) thì hệ gồm nghiệm duy nhất(d) ≡ (d’) thì hệ tất cả vô số nghiệm

+ Hệ phương trình tương đương: Hệ nhì phương trình tương đương với nhau giả dụ chúng bao gồm cùng tập nghiệm

II. Giải pháp giải hệ phương trình số 1 2 ẩn

1. Giải hệ phương trình hàng đầu 2 ẩn bằng phương thức cộng đại số

a) Quy tắc cộng đại số

- Quy tắc cùng đại số dùng để thay đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương gồm nhì bước:

- bước 1: cùng hay trừ từng vế nhị phương trình của hệ phương trình đã mang lại để được một phương trình mới.

- bước 2: cần sử dụng phương trình bắt đầu ấy sửa chữa cho một trong những hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia).

b) Cách giải hệ phương trình bằng phương thức cộng đại số.

- bước 1: Nhân các vế của nhị phương trình với số phù hợp (nếu cần) làm thế nào cho các hệ số của một ẩn nào đó trong nhị phương trình của hệ đều bằng nhau hoặc đối nhau.

- cách 2: sử dụng quy tắc cùng đại số sẽ được hệ phương trình mới, trong các số đó có một phương trình mà hệ số của một trong những hai ẩn bởi 0 (tức là phương trình một ẩn).

- cách 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ sẽ cho.

 Ví dụ: Giải những hệ PT hàng đầu 2 ẩn khuất phía sau bằng PP cùng đại số:

a) 

*

b)

*

* Lời giải:

a)

*
(lấy PT(1) + PT(2))

 

*

b)

*
 (lấy PT(1) - PT(2))

 

*

2. Giải hệ phương trình hàng đầu 2 ẩn bằng phương pháp thế

a) Quy tắc thế

- Quy tắc cụ dùng để đổi khác một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Phép tắc thế bao hàm hai cách sau:

- cách 1: xuất phát từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thức nhất), ta màn trình diễn một ẩn theo ẩn cơ rồi thay vào phương trình thức hai sẽ được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).

- bước 2: dùng phương trình mới ấy để thay thế sửa chữa cho phương trình thức nhị trong hệ (phương trình thức nhất cũng thường xuyên được sửa chữa bởi hệ thức màn trình diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở cách 1).

b) Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

- cách 1: dùng quy tắc cụ để chuyển đổi phương trình đã mang lại để được một hệ phương trình mới, trong những số ấy có một phương trình một ẩn.

- bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

 Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế

a)

*

b)

*

* Lời giải:

a) 

*

 

*

b) 

*

 

*

III. Một trong những dạng toán phương trình hàng đầu 2 ẩn

Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương thức thế

* Phương pháp: xem phần cầm tắt lý thuyết

Bài 12 trang 15 sgk toán 9 tập 2: Giải các hệ phương trình sau bằng cách thức thế

a) 

*
b) 
*

c) 

*

* Giải bài bác 12 trang 15 sgk toán 9 tập 2:

a) 

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm tốt nhất (10;7)

b)

*

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm tốt nhất (11/19;-6/19)

c)

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm độc nhất vô nhị (25/19;-21/19)

* nhấn xét: Qua bài 12 này, các em thấy phương pháp thế sẽ sử dụng thuận lợi hơn khi 1 trong các phương trình của hệ có những hệ số của x hoặc y là một trong hoặc -1. Lúc đó chỉ việc rút x hoặc y sinh hoạt phương trình có hệ số là 1 trong những hoặc -1 này và cụ vào phương trình sót lại để giải hệ.

- Đối với các hệ PT trình mà không có hệ số như thế nào của x và y là một trong những hoặc -1 thì việc sử dụng phương thức thế làm phát sinh các phân số và việc cộng trừ dễ làm ta không đúng sót hơn hoàn toàn như bài 13 bên dưới đây.

Bài 13 trang 15 sgk toán 9 tập 2: Giải hệ PT sau bằng phương pháp thế

a) 

*
b)
*

* Giải bài Bài 13 trang 15 sgk toán 9 tập 2:

a) 

*

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT gồm nghiệm độc nhất vô nhị (7;5)

b)

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT gồm nghiệm duy nhất (3;3/2)

Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng cách thức cộng đại số

* Phương pháp: xem phần nắm tắt lý thuyết

Bài đôi mươi trang 19 sgk toán 9 tập 2: Giải các hệ PT sau bởi PP cùng đại số

a) 

*
b)
*

c)

*
d)
*

e)

*

* giải thuật bài 20 trang 19 sgk toán 9 tập 2:

a)

*

Lưu ý: mang PT(1)+PT(2)

  ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm tốt nhất (2;-3)

b)

*

Lưu ý: lấy PT(1)-PT(2)

⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm nhất (2;-3)

c)

*
(Nhân 2 vế PT(2) cùng với 2 để thông số của x ở cả hai PT bởi nhau)

 

*

(lấy PT(1) - PT(2))

⇒ Kết luận: hệ PT bao gồm nghiệm độc nhất (2;-3)

d)

*
 (Nhân 2 vế PT(1) cùng với 3, 2 vế PT(2) cùng với 2)

*

(Lấy PT(1)-PT(2))

⇒ Kết luận: hệ PT gồm nghiệm tốt nhất (-1;0)

e) 

*
 (Nhân 2 vế PT(1) với 5)

*
 (Lấy PT(1)-PT(2))

⇒ Kết luận: hệ PT gồm nghiệm độc nhất vô nhị (5;3)

* thừa nhận xét: khi không có bất kỳ hệ số như thế nào của x, y là 1 trong hay -1 thì phương pháp cộng đại số giúp các em đỡ nhầm lẫn hơn trong phép tính.

Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng cách thức đặt ẩn phụ

* Phương pháp:

- bước 1: Đặt đk để hệ tất cả nghĩa

- cách 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ

- bước 3: Giải hệ theo những ẩn phụ vẫn đặt (sử dụng pp ráng hoặc pp cùng đại số)

- bước 4: trở về ẩn lúc đầu để tra cứu nghiệm của hệ

 Ví dụ: Giải hệ phương trình sau

a) 

*
b)
*

* Lời giải:

a) Điều kiện: x, y ≠ 0 (mẫu số không giống 0).

 Đặt: 

*
 ta có hệ ban sơ trở thành:

 

*

- trở lại ẩn thuở đầu x với y ta có:

*

 ⇒ thỏa điều kiện, buộc phải hệ bao gồm nghiệm độc nhất (1;1)

b) Điều kiện: x ≠ -1 cùng y ≠ 3 (mẫu số không giống 0)

 Đặt: 

*
 ta tất cả hệ ban sơ trở thành:

*

 Trở lại ẩn thuở đầu x cùng y ta có: 

 

*
 

⇒ thỏa điều kiện, đề nghị hệ có nghiệm tốt nhất (-5/4;6)

Dạng 4: xác minh tọa độ giao điểm của 2 con đường thẳng

* Phương pháp:

- Tọa độ giao điểm đó là nghiệm của hệ được tạo bởi 2 phương trình mặt đường thẳng sẽ cho.

 Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của 2 con đường thẳng sau:

a) d1: 2x - y = 3 với d2: x + y = 3

b) d1: 2x + y = 5 và d2: x - 3y = 6

* Lời giải:

a) Tọa độ điểm I là giao của d1 cùng d2 là nghiệm của hệ: 

*

 - Giải hệ bằng 1 trong 2 cách thức cộng đại số hoặc thế:

⇒ Tọa độ giao điểm I của d1 cùng d2 là (2;1).

b) Tọa độ điểm I là giao của d1 và d2 là nghiệm của hệ: 

*
*

⇒ Tọa độ giao điểm I của d1 và d2 là (4;-2).

Xem thêm: Giải Tập Bản Đồ Địa Lý 8 Bài 3, Giải Tập Bản Đồ Địa Lí Lớp 8 Ngắn Nhất

Dạng 5: Giải và biện luận hệ phương trình

* Phương pháp:

+ từ 1 phương trình của hệ, rút y theo x (sử dụng cách thức thế) rồi chũm vào phương trình còn lại để được phương trình dạng ax +b = 0, rồi thực hiện công việc biện luận như sau:

- ví như a ≠ 0, thì x = b/a; chũm vào biểu thức để tìm y; hệ tất cả nghiệm duy nhất.

- giả dụ a = 0, ta có, 0.x = b:

_ ví như b = 0 thì hệ có vô số nghiệm

_ ví như b ≠ 0 thì hệ vô nghiệm

 Ví dụ: Giải biện luận hệ phương trình sau: 

*

* Lời giải

- từ bỏ PT(1) ta có: y = mx - 2m, nuốm vào PT(2) ta được:

x - m(mx-2m) = m + 1

⇔ x - m2x + 2m2 = m + 1

⇔ (1 - m2)x = -2m2 + m + 1

⇔ (1 - m)(1 + m)x = 1 - m2 + m - m2

⇔ (1 - m)(1 + m)x = (1 - m)(1+m)+ m(1 - m)

⇔ (1 - m)(1 + m)x = (1 - m)(1+m)+ m(1 - m)

⇔ (1 - m)(1 + m)x = (1 - m)(1+2m) (3)

* giả dụ m ≠ ±1, ta có: 

*

lúc đó: 

*

⇒ Hệ gồm nghiệm duy nhất: 

* trường hợp m = -1, cố kỉnh vào (3) ta được: 0.x = -2 ⇒ hệ vô nghiệm

* giả dụ m = 1, thay vào (3) ta được: 0.x = 0 ⇒ hệ bao gồm vô số nghiệm, tập nghiệm (x;x-2)