Các bài toán về tổng cùng hiệu của nhì vectơ và phương pháp giải

Với các bài toán về tổng cùng hiệu của nhì vectơ và cách giải Toán lớp 10 có đầy đủ cách thức giải, ví dụ minh họa và bài xích tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết phương pháp làm dạng bài xích tập tổng cùng hiệu của hai vectơ từ kia đạt điểm trên cao trong bài thi môn Toán lớp 10.

Bạn đang xem: Giải bài tập tổng và hiệu của hai vectơ

*

A. Lí thuyết.

- Tổng của hai vectơ: mang đến hai vectơ

*
tùy ý. Rước một điểm A tùy ý, vẽ vectơ
*
Vectơ
*
được gọi là tổng của nhị vectơ
*
tức là:
*
.

- đặc thù của phép cộng những vectơ: Với những vectơ

*
tùy ý ta có:

+)

*
(tính chất giao hoán);

+)

*
(tính hóa học kết hợp);

+)

*
(tính chất của vectơ – không)

- Vectơ đối: Vectơ có cùng độ dài với ngược hướng với vectơ

*
được gọi là vectơ đối của vectơ
*
. Kí hiệu là -
*
.

- Hiệu của nhị vectơ: mang đến hai vectơ

*
tùy ý. Ta có:
*
.

- Quy tắc bố điểm: cùng với A, B, C tùy ý ta luôn có:

*
*

- phép tắc hình bình hành: nếu như ABCD là hình bình hành thì

*
.

- luật lệ trung điểm: với I là trung điểm của đoạn thẳng AB ⇔

*
.

- phép tắc trọng tâm: cùng với G là giữa trung tâm của tam giác ABC ⇔

*
.

- Chú ý: Vectơ đối của vectơ - ko là vectơ - không.

*

B. Những dạng bài.

Dạng 1: kiếm tìm tổng của hai hay nhiều vectơ.

Phương pháp giải:

Dùng tư tưởng tổng của nhị vectơ, quy tắc cha điểm về tổng, nguyên tắc hình bình hành và các đặc điểm của tổng các vectơ.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: mang lại 5 điểm tùy ý A, B, C, D, E. Tính tổng

*
.

Giải:

*

=

*
(áp dụng đặc điểm giao hoán với kết hợp)

=

*
(áp dụng quy tắc tía điểm)

=

*
(áp dụng đặc điểm giao hoán)

=

*
(áp dụng quy tắc cha điểm)

Bài 2: Cho hình vuông ABCD chổ chính giữa O. Tính tổng

*
cùng
*

*

Giải:

+) do ABCD là hình vuông ⇒ AB // DC và AB = DC.

*

+) Áp dụng quy tắc tía điểm mang lại D, C, B ta có:

*

*

+) bởi A, O, C thuộc nằm trên một đường thẳng và OA = OC (O là tâm hình vuông vắn ABCD) ⇒

*
*

+) Áp dụng quy tắc bố điểm cho O, A, D ta có:

*
*

Dạng 2: tìm vectơ đối cùng hiệu của nhì vectơ.

Phương pháp giải:

Dùng tư tưởng hiệu của nhị vectơ, tìm kiếm vectơ đối và áp dụng quy tắc bố điểm về hiệu.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho hình vuông vắn ABCD bao gồm tâm O. Kiếm tìm vectơ đối của những vectơ

*
.

*

Giải:

+) bởi

*
= AB cùng
*
ngược hướng với
*
.

+) vì chưng AB = DC , AB // DC (do ABCD là hình vuông)

*
cùng
*
ngược hướng với
*
.

+) vì chưng A, O, C là bố điểm trực tiếp hàng với OA = OC (do ABCD là hình vuông)

*
ngược phía với
*
*
*
.

Vậy

*
là vectơ đối của vectơ
*
cùng
*
là vectơ đối của
*
.

Bài 2: mang đến hình chữ nhật ABCD. Nhị đường chéo cánh AC với BD giảm nhau trên O. Tính những hiệu

*
.

*

Giải:

+) bởi

*
= AB cùng
*
ngược hướng với
*
.

+) Ta có:

*
.

+) Áp dụng quy tắc bố điểm cho tía điểm A, D, B có:

*
.

+) Vì

*
= OD và
*
ngược hướng với
*
.

+) Ta có:

*
.

Dạng 3: chứng tỏ đẳng thức vectơ.

Phương pháp giải: thực hiện quy tắc ba điểm, phép tắc hình bình hành, trung điểm, trọng tâm, để biến hóa vế này thành vế cơ của đẳng thức hoặc biến hóa cả nhì vế và để được hai vế cân nhau hoặc ta cũng có thể có thể thay đổi đẳng thức véctơ cần chứng tỏ đó tương tự với một đẳng thức vectơ vẫn được thừa nhận là đúng.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: đến sáu điểm tùy ý A, B, C, D, E, F. Chứng minh đẳng thức sau:

*

Giải:

+) Áp dụng quy tắc cha điểm ta có:

*
.

⇒ VT =

*

⇒ VT =

*

+) Áp dụng quy tắc bố điểm ta có:

*

⇒ VT =

*

⇒ VT =

*
(điều rất cần được chứng minh)

Bài 2: cho tam giác ABC. Cho M, N, p. Lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Điểm O bất kì. Minh chứng đẳng thức:

*
.

*

Giải:

Giả sử

*
là đúng.

*

*
(1)

Vì N là trung điểm của AC ⇒

*

Xét tam giác ABC tất cả MN là đường trung bình và p. Là trung điểm của BC .

⇒ MN =

*
BC = BP ⇒
*

(1) ⇔

*

*

*

*
(luôn đúng)

Đẳng thức

*
là đúng.

*

Dạng 4: Tính độ dài những vectơ tổng hoặc hiệu.

Phương pháp giải:

Đưa tổng hoặc hiệu của những véctơ về một véctơ có độ dài là một trong cạnh của đa giác để tính độ nhiều năm của vectơ.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: cho hình chữ nhật ABCD. Biết AB = 4a, AD = 2a. Tính

*
.

*

Giải:

+) Áp dụng nguyên tắc hình bình hành ta có:

*

*

+) vì chưng ABCD là hình chữ nhật BC = AD = 2a.

+) Xét tam giác ABC vuông trên B.

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

AC2 = AB2 + BC2

⇒ AC2 = (4a)2 + (2a)2 = 20a2

⇒ AC =

*

*
= AC =
*

Bài 2: mang đến tam giác ABC đông đảo cạnh a. Tính

*
.

*

Giải:

+) vì chưng

*
= AB cùng
*
ngược hướng với
*
.

*

+) Ta có:

*

*

*

C. Bài tập tự luyện.

Bài 1: mang lại hình chữ nhật ABCD. Chứng tỏ rằng

*
.

*

Đáp án:

*

Bài 2: cho lục giác rất nhiều ABCDEF có tâm O. Tính tổng sau:

*

*

Đáp án:

*

Bài 3: cho 5 điểm tùy ý M, N, P, Q, E. Tính tổng

*
.

Đáp án:

*

Bài 4: mang đến hình thoi ABCD trung khu O. Tìm các vectơ đối của vectơ

*
.

*

Đáp án:

*

Bài 5: mang lại 4 điểm A, B, C, D tùy ý. Tính hiệu

*
.

Đáp án:

*

*

Bài 6: cho tam giác ABC tất cả M, N, p. Lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Tính hiệu

*
.

Xem thêm: Giải Bài Tập Sách Giáo Khoa Toán 10 Cơ Bản, Giải Bài Tập Đại Số 10 Cơ Bản

*

Đáp án:

*

Bài 7: cho 5 điểm A, B, C, D, E tùy ý. Chứng minh đẳng thức sau:

*

Đáp án: VT =

*
= VP

Bài 8: mang đến hình bình hành ABCD trọng điểm O. Minh chứng rằng:

*

*

Đáp án: VT =

*
VP =
*
nhưng
*
⇒ VT = VP

Bài 9: đến hình bình hành ABCD. O là vấn đề tùy ý trực thuộc đường chéo cánh AC. Từ O kẻ mặt đường thẳng song song với những cạnh của hình bình hành, cắt AB tại M, giảm DC trên N, giảm BC trên F, cắt AD tại E. Bệnh minh:

*
.