Hướng dẫn giải bài xích §3. Đạo hàm của hàm con số giác, Chương V. Đạo hàm, sách giáo khoa Đại số cùng Giải tích 11. Nội dung bài xích giải bài xích 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 168 169 sgk Đại số và Giải tích 11 bao hàm tổng vừa lòng công thức, lý thuyết, cách thức giải bài tập đại số với giải tích gồm trong SGK để giúp các em học sinh học xuất sắc môn toán lớp 11.

Bạn đang xem: Giải bài tập toán 11 trang 168


Lý thuyết

1. Đạo hàm của hàm số $y = sinx$

Hàm số (y=sin x) tất cả đạo hàm tại gần như (x in mathbbR) và (left( sin x ight)’ = cos x.)

Nếu (y=sin u) với (u=u(x)) thì ((sin u)’=u’. cos u.)

2. Đạo hàm của hàm số $y = cosx$

Hàm số (y=cos x) bao gồm đạo hàm tại những (x in mathbbR) cùng (left( cos x ight)’ =-sin x.)

Nếu (y=cos u) cùng (u=u(x)) thì ((cos u)’=-u’. sin u.)

3. Đạo hàm của hàm số $y = tanx$

Hàm số (y= an x) bao gồm đạo hàm tại phần đa (x e fracpi 2 + kpi ,k in mathbbR) và (left( an x ight)’ = frac1cos ^2x.)

Nếu (y=tan u) với (u=u(x)) thì (left( an u ight)’ = fracu’cos ^2u.)

4. Đạo hàm của hàm số $y = cotx$

Hàm số (y=cot x) bao gồm đạo hàm tại mọi (x e kpi ,k in mathbbR) với (left( cot x ight)’ = – frac1sin ^2x.)

Nếu (y=cot u) và (u=u(x)) thì (left( cot x ight)’ = – fracu’sin ^2u).

Bảng đạo hàm:


*

Dưới đó là phần hướng dẫn vấn đáp các thắc mắc và bài xích tập trong phần hoạt động vui chơi của học sinh sgk Đại số cùng Giải tích 11.

Câu hỏi

1. Trả lời thắc mắc 1 trang 163 sgk Đại số và Giải tích 11


Tính (sin 0,01 over 0,01;,,sin ,0,001 over 0,001) bằng máy tính bỏ túi.

Trả lời:

Ta có:

(eqalign& sin 0,01 over 0,01 approx 0,999983 cr& sin ,0,001 over 0,001 approx 0,99999983 cr )

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 165 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Tính đạo hàm của hàm số: (y = sin (pi over 2 – x))

Trả lời:

$y’ = (sin⁡ (pi over 2 – x) )’$


Đặt $u = pi over 2 – x$ thì $u’ = -1$

⇒ $y’ = u’ cos⁡u = -1 cos⁡(pi over 2 – x) = -sin⁡x$

(do $cos⁡(pi over 2 – x) = sin⁡x$ ).

3. Trả lời thắc mắc 3 trang 166 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Tính đạo hàm của hàm số:

(f(x) = sin ,x over cos ,x,(x e pi over 2 + kpi ;,k in Z))

Trả lời:


Ta có:

(eqalign& f"(x) = (sin ,x over cos ,x) ‘= (sin ,x)’cos ,x – sin ,x.(cos ,x)’ over cos ,^2x cr& = cos ,^2x + sin ^2x over cos ,^2x = 1 over cos ,^2x cr )

4. Trả lời thắc mắc 4 trang 167 sgk Đại số với Giải tích 11

Tính đạo hàm của hàm số:

$y = chảy (pi over 2 – x)$ cùng với $x ≠ kπ, k ∈ Z$

Trả lời:

Đặt $u = pi over 2 – x$ thì $u’ = -1$


⇒ $y’ = u’ over cos ^2u = – 1 over cos ^2u $

$= – 1 over cos ^2(pi over 2 – x) = – 1 over sin ^2x$

(do $cos⁡(pi over 2 – x) = sin⁡x$)

Dưới đây là phần gợi ý giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 168 169 sgk Đại số với Giải tích 11. Các bạn hãy hiểu kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

circologiannibrera.com trình làng với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài xích tập đại số với giải tích 11 kèm bài giải đưa ra tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 168 169 sgk Đại số với Giải tích 11 của bài xích §3. Đạo hàm của hàm số lượng giác vào Chương V. Đạo hàm cho các bạn tham khảo. Nội dung cụ thể bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

*
Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 168 169 sgk Đại số với Giải tích 11

1. Giải bài xích 1 trang 168 sgk Đại số với Giải tích 11

Tìm đạo hàm của những hàm số sau:


a) (y = fracx-15x-2)

b) (y = frac2x+37-3x)

c) (y = fracx^2+2x+33-4x)

d) (y = fracx^2+7x+3x^2-3x)

Bài giải:

a) (y = fracx-15x-2)

( y’=fracleft ( x-1 ight )’.left ( 5x-2 ight )-left ( x-1 ight ).left ( 5x-2 ight )’left ( 5x-2 ight )^2)

(y’ =frac(5x-2)-left ( x-1 ight ).5left ( 5x-2 ight )^2)

(y’ =frac3left ( 5x-2 ight )^2).

b) (y = frac2x+37-3x)

( y’=fracleft ( 2x+3 ight )’.left ( 7-3x ight )-left ( 2x+3 ight ).left ( 7-3x ight )’left ( 7-3x ight )^2)

(y’= frac2left ( 7-3x ight )-left ( 2x+3 ight ).left ( -3 ight )left ( 7-3x ight )^2)

(y’= frac23left ( 7-3x ight )^2).

c) (y = fracx^2+2x+33-4x)

( y’=fracleft ( x^2+2x+3 ight )’.left ( 3-4x ight )-left ( x^2 +2x+3 ight ).left ( 3-4x ight )’left ( 3-4x ight )^2)

(y’= fracleft ( 2x+2 ight ).left ( 3-4x ight )-left ( x^2+2x+3 ight ).(-4)(3-4x)^2)

(y’ =frac-2(2x^2-3x-9)(3-4x)^2).

d) (y = fracx^2+7x+3x^2-3x)

( y’=frac(x^2+7x+3)’.(x^2-3x)-(x^2+7x+3).(x^2-3x)’(x^2-3x)^2)

(y’ =frac(2x-7).(x^2-3x)-(x^2+7x+3).(2x-3)(x^2-3x)^2)

(y’=frac-10x^2-6x+9(x^2-3x)^2).

2. Giải bài 2 trang 168 sgk Đại số với Giải tích 11

Giải các bất phương trình sau:

a) (y"0) với (y = frac2x-1x^2+x+4)

Bài giải:

a) (y"x le – 3 hfill cr} ight. hfill cr} ight.)

(Leftrightarrow left< matrixx ge 1 hfill cr x le – 3 hfill cr ight.)

(Rightarrow x∈ (-∞;-3> ∪ <1;+∞))

Vậy (x∈ (-∞;-3> ∪ <1;+∞))

c) (y’>0) cùng với (y = frac2x-1x^2+x+4)

Ta bao gồm (y’=frac(2x-1)’.(x^2+x+4)-(2x-1).(x^2+x+4)’(x^2+x+4)=frac-2x^2+2x+9(x^2+x+4)).

Vì (x^2+x +4 =left ( x+frac12 ight )^2+ frac154 >0), cùng với (∀ x ∈ mathbb R)

(Rightarrow y’>0 Leftrightarrow frac-2x^2+2x+9(x^2+x+4) >0)

(Leftrightarrow -2x^2+2x +9>0 )

(Leftrightarrow frac1-sqrt192

3. Giải bài 3 trang 169 sgk Đại số với Giải tích 11

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) (y = 5sinx -3cosx)

b) ( y=fracsinx+cosxsinx-cosx)

c) (y = x cotx)

d) (y = fracsinxx+fracxsinx)

e) (y = sqrt(1 +2tan x))

f) (y = sinsqrt(1 +x^2))

Bài giải:

a) (y = 5sinx -3cosx)

(y’=5cosx-3(-sinx)=5cosx+3sinx)

b) ( y=fracsinx+cosxsinx-cosx)

(y’=(sinx+cos x)’.(sin x- cos x)-(sin x+cos x)(sin x-cos x)’over(sin x-cos x)^2)

(y’= (cos x-sin x)(sin x -cos x)-(sin x+ cos x)(cosx+sinx)over(sin x-cosx )^2)

(y’ =-2over(sin x-cos x)^2)

c) (y = x cotx)

(y’ = cotx +x. left ( -frac1sin^2x ight )= cotx – fracxsin^2x).

d) (y = fracsinxx+ fracxsinx)

( y’=frac(sin x)’.x-sin x.(x)’x^2+frac(x)’.sin x-x(sin x)’sin^2x)

(y’= fracx.cosx-sinxx^2+fracsin x-x.cosxsin^2x)

(y’= fracx.cosx-sinxx^2-fracx.cosx-sin xsin^2x)

(y’ = (x. Cosx -sinx) left ( frac1x^2-frac1sin^2x ight )).

e) (y = sqrt(1 +2tan x))

( y’=frac(1+2tanx)’2sqrt1+2tanx)

(y’= fracfrac2cos^2x2sqrt1+2tanx)

(y’=frac1cos^2xsqrt1+2tanx).

f) (y = sinsqrt(1 +x^2))

(y’ = (sqrt1+x^2)’ cossqrt(1+x^2) )

(y’= frac(1+x^2)’2sqrt1+x^2cossqrt(1+x^2) )

(y’= frac2x2sqrt1+x^2cossqrt(1+x^2) )

(y’= fracxsqrt1+x^2cossqrt(1+x^2))

4. Giải bài xích 4 trang 169 sgk Đại số với Giải tích 11

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) (y = left( 9 – 2x ight)(2x^3 – 9x^2 + 1))

b) (y = left ( 6sqrtx -frac1x^2 ight )(7x -3))

c) (y = (x -2)sqrt(x^2+1))

d) (y = tan^2x +cotx^2)

e) (y = cosfracx1+x)

Bài giải:

a) (y = left( 9 – 2x ight)(2x^3 – 9x^2 + 1))

(y’ = left( 9 – 2x ight)"(2x^3 – 9x^2 + 1) + left( 9 – 2x ight)(2x^3 – 9x^2 + 1)’)

(y’= – 2(2x^3 – 9x^2 + 1) + left( 9 – 2x ight)(6x^2 – 18x) )

(y’=-4x^3+18x^2-2+54x^2-162x-12x^3+36x^2)

(y’= – 16x^3 + 108x^2 – 162x – 2).

b) (y = left ( 6sqrtx -frac1x^2 ight )(7x -3))

(y’ = left ( 6sqrtx -frac1x^2 ight )’.(7x -3) +left ( 6sqrtx -frac1x^2 ight )(7x -3)’)

(y’= left ( frac3sqrtx +frac2x^3 ight )(7x -3) +7 left ( 6sqrtx -frac1x^2 ight ))

(y’=63sqrtx-frac9sqrtx+frac7x^2-frac6x^3)

c) (y = (x -2)sqrt(x^2+1))

(y’ = (x -2)’sqrt(x^2+1) + (x -2)sqrt (x^2+1)’ )

(y’= sqrt (x^2+1) + (x -2)fracleft ( x^2+1 ight )’2sqrtx^2+1)

(y’= sqrt (x^2+1) + (x -2) frac2x2sqrtx^2+1)

(y’ = sqrt (x^2+1) + fracx^2-2xsqrtx^2+1)

(y’= frac2x^2-2x+1sqrtx^2+1).

d) (y = tan^2x +cotx^2)

(y’ = 2tanx.(tanx)’ – (x^2)’ left ( -frac1sin^2x^2 ight )= frac2tanxcos^2x+frac2xsin^2x^2)

e) (y = cosfracx1+x)

(y’ = left ( frac11+x ight )’sin fracx1+x= -frac1(1+x)^2sin fracx1+x).

5. Giải bài xích 5 trang 169 sgk Đại số với Giải tích 11

Tính ( fracf"(1)varphi ‘(1)), biết rằng (f(x) = x^2) cùng (φ(x) = 4x +sin fracpi x2)

Bài giải:

Ta có:

(f"(x) = 2xRightarrow f"(1) = 2)

(φ"(x) = 4 + left ( fracpi x2 ight )’. Cos fracpi x2 = 4 + fracpi 2. Cos fracpi x2)

(Rightarrow φ"(1) = 4).

(Rightarrow fracf"(1)varphi ‘(1) = frac24= frac12)

6. Giải bài bác 6 trang 169 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Chứng minh rằng các hàm số sau tất cả đạo hàm không dựa vào (x):

a) (sin^6x + cos^6x + 3sin^2x.cos^2x)

b) (cos ^2left ( fracpi 3-x ight )+ cos ^2 left ( fracpi 3+x ight ) + cos ^2left ( frac2pi 3-x ight )+cos ^2 left ( frac2pi 3+x ight )-2sin^2x)

Bài giải:

a) (sin^6x + cos^6x + 3sin^2x.cos^2x)

Ta có:

((3sin^2x.cos^2x)’=3.(sin^2x)’.cos^2x+3.sin^2x(cos^2x)’)

(=3.cos^2x.2.sin x (sin x)’+3.sin^2x.2.cos x.(cosx)’)

(=6.cos^2x.sin x.cos x+6.sin^2x.cos x.(-sin x))

(=6.cos^3x.sin x-6.sin^3x.cos x)

(y’ = 6sin ^5x.cos x – 6cos ^5x.sin x + 6sin x.cos^3x – 6sin ^3x.cos x)

(= 6sin ^3x.cos x(sin^2 x – 1) + 6sin x.cos^3 x(1 – cos ^2x))

(= 6sin ^3x.cos x.cos^2x + 6sin x.cos^3 x.sin^2x)

(= – 6sin ^3x.cos^3 x + 6sin ^3x.cos^3 x = 0).

Vậy (y’ = 0)với đông đảo (x),tức là (y’) không nhờ vào vào (x).

b) (cos ^2left ( fracpi 3-x ight )+ cos ^2 left ( fracpi 3+x ight ) + cos ^2left ( frac2pi 3-x ight )+cos ^2 left ( frac2pi 3+x ight )-2sin^2x)

(y’ = 2cos left ( fracpi 3-x ight ).sin left ( fracpi 3-x ight ))

( -2cos left ( fracpi 3+x ight ).sin left ( fracpi 3+x ight ))

( +2cos left ( frac2 pi 3-x ight ).sin left ( frac2 pi 3-x ight ))

( -2cos left ( frac2 pi 3+x ight ).sin left ( frac2 pi 3+x ight )-4sin,xcos,x)

Áp dụng phương pháp tính đạo hàm của hàm số phù hợp ta được

(y’ =sin left ( frac2pi 3-2x ight ) – sin left ( frac2pi 3+2x ight )+ sin left ( frac4pi 3-2x ight ) – sin left ( frac4pi 3+2x ight )- 2sin 2x )

(= -2cos frac2pi 3.sin,2x – 2cos frac4pi 3. sin 2x – 2sin 2x )

(= sin 2x + sin 2x – 2sin 2x )

(=sin,2x(1+1-2)=0)

Vậy (y’ = 0) với tất cả (x), cho nên (y’) không dựa vào vào (x).

7. Giải bài xích 7 trang 169 sgk Đại số và Giải tích 11

Giải phương trình (f"(x) = 0), biết rằng:

a) (f(x) = 3cos x + 4sin x + 5x)

b) (f(x) = 1 – sin(π + x) + 2cos left ( frac2pi +x2 ight ))

Bài giải:

a) (f(x) = 3cos x + 4sin x + 5x)

(f"(x) = – 3sin x + 4cos x + 5).

(Rightarrow f"(x) = 0 Leftrightarrow – 3sin x + 4cos x + 5 = 0)

(Leftrightarrow3 sin x – 4cos x = 5)

(Leftrightarrow frac35sin x – frac45 cos x = 1).(*)

Đặt (cos alpha = frac35,left(alpha ∈ left ( 0;fracpi 2 ight ) ight ) Rightarrow sin alpha = frac45)

Ta có:

(*)(Leftrightarrow sin x.cos alpha – cos x.sin alpha = 1)

(Leftrightarrow sin(x – alpha ) = 1)

(Leftrightarrow x – alpha = fracpi 2 + k2π)

(Leftrightarrow x = alpha + fracpi 2 + k2π, k ∈ mathbb Z).

Vậy (x = alpha + fracpi 2 + k2π, k ∈ mathbb Z)

b) (f(x) = 1 – sin(π + x) + 2cos left ( frac2pi +x2 ight ))

(f"(x) = – cos(π + x) – sin left (pi + fracx2 ight ) = cos x + sin fracx 2)

(f"(x) = 0 Leftrightarrow cos x + sin fracx 2 = 0 )

(Leftrightarrow sin fracx 2 = – cosx)

(Leftrightarrow sin fracx 2 = sin left (x-fracpi2 ight ))

(Leftrightarrow left< matrixfracx 2= x-fracpi2+ k2π hfill cr fracx 2 = π – x+fracpi2+ k2π hfill cr ight.)

(Leftrightarrow left< matrixx = π – k4π hfill cr x = π + k frac4pi 3 hfill cr ight.(k ∈ mathbb Z))

Vậy (x = π – k4π)hoặc (x = π + k frac4pi 3(k ∈ mathbb Z))

8. Giải bài xích 8 trang 169 sgk Đại số với Giải tích 11

Giải bất phương trình (f"(x) > g"(x)), biết rằng:

a) (f(x) = x^3+ x – sqrt2,g(x) = 3x^2+ x + sqrt2)

b) (f(x) = 2x^3- x^2+ sqrt3,g(x) = x^3+ fracx^22 – sqrt 3)

Bài giải:

a) (f(x) = x^3+ x – sqrt2,g(x) = 3x^2+ x + sqrt2)

Ta có (f"(x) = 3x^2+ 1), (g"(x) = 6x + 1).

(Rightarrow f"(x) > g"(x) )

(Rightarrow 3x^2+ 1 > 6x + 1 )

(Leftrightarrow 3x^2- 6x >0)

(Leftrightarrow 3x(x – 2) > 0 )

(Leftrightarrow x > 2)hoặc (x > 0)

Vậy (x ∈ (-∞;0) ∪ (2;+∞)).

Xem thêm: Hạt Kiều Mạch Là Gì Và Lợi Ích Với Sức Khỏe, Thành Phần Dinh Dưỡng Và Lợi Ích Sức Khỏe

b) (f(x) = 2x^3- x^2+ sqrt3,g(x) = x^3+ fracx^22 – sqrt 3)

Ta có (f"(x) = 6x^2- 2x), (g"(x) = 3x^2+ x).

(Rightarrow f"(x) > g"(x))

(Leftrightarrow 6x^2- 2x > 3x^2+ x )

(Leftrightarrow 3x^2- 3x > 0)

(Leftrightarrow 3x(x – 1) > 0 )

(Leftrightarrow x > 1)hoặc (x

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc chúng ta làm bài giỏi cùng giải bài bác tập sgk toán lớp 11 với giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 168 169 sgk Đại số với Giải tích 11!