Các dạng bài bác tập toán về phương trình con đường tròn là giữa những nội dung mà đa số chúng ta cảm thấy "dễ thở hơn" vì nội dung cũng khá cụ thể và dễ hiểu, mặc dù nội dung này cũng đầy đủ các bài tập nặng nề nhằn đâu nhé.

Bạn đang xem: Giải bài tập phương trình đường tròn


Vì vậy, trong nội dung bài viết này chúng ta cùng khối hệ thống lại các dạng bài tập toán về phương trình đường tròn, vận dụng giải qua những ví dụ minh hoạ núm thể, nhằm từ đó những em dễ ợt vận dụng cùng phân nhiều loại khi chạm mặt các dạng bài bác tập về con đường tròn.

Đây cũng chính là nội dung gốc rễ cho kiến thức về mặt mong trong không khí ở lớp 12, và trước khi bắt tay vào giải các dạng bài xích tập đường tròn thì chúng ta phải nắm vững được đặc điểm của con đường tròn qua phần lý thuyết.

I. Lý thuyết về phương trình mặt đường tròn

1. Phương trình con đường tròn:

- Phương trình đường tròn bao gồm tâm I(a;b), bán kính R là: (x - a)2 + (y - b)2 = R2

*
- nếu như a2 + b2 - c > 0 thì phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của mặt đường tròn tâm I(a;b), buôn bán kính 
*

2. Phương trình tiếp đường của con đường tròn

- mang lại điểm M0(x0; y0) nằm trên tuyến đường tròn (C) vai trung phong I(a;b), tiếp tuyến tại M0 của (C) tất cả phương trình:

 (x0 - a)(x - x0) + (y0 - b)(y - y0) = 0

*
II. Những dạng bài tập phương trình con đường tròn.

Dạng 1: dìm dạng phương trình đường tròn, tìm điều kiện để 1 PT là phương trình mặt đường tròn

* Phương pháp:

+) giải pháp 1: Đưa phương trình đã cho về dạng: (x - a)2 + (y - b)2 = p (*)

 - Nếu p > 0 thì (*) là PT đường tròn vai trung phong I(a;b) và chào bán kính 

*

 - trường hợp P ≤ 0 thì (*) là KHÔNG là PT con đường tròn.

+) giải pháp 2: Đưa phương trình đã đến về dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (**)

 ° Đặt p = a2 + b2 - c 

 - Nếu phường > 0 thì (**) là PT con đường tròn trung khu I(a;b) và bán kính

*

 - nếu P ≤ 0 thì (**) là KHÔNG là PT mặt đường tròn.

 Ví dụ 1: Trong những phương trình sau, phương trình nào trình diễn phương trình đường tròn, tìm chổ chính giữa và bán kính nếu có.

a) x2 + y2 + 2x - 4y + 9 = 0

b) x2 + y2 - 6x + 4y + 13 = 0

c) 2x2 + 2y2 - 8x - 4y - 6 = 0

d) 5x2 + 4y2 + x - 4y + 1 = 0

* Lời giải:

a) x2 + y2 + 2x - 4y + 9 = 0,

- Ta bao gồm a = -1; b = 2; c = 9 nên a2 + b2 - c = (-1)2 + (2)2 - 9 = -4 2 + y2 - 6x + 4y + 13 = 0,

- giống như có: a2 + b2 - c = (3)2 + (-2)2 - 13 = 0 2 + 2y2 - 8x - 4y - 6 = 0 ⇔ x2 + y2 - 4x - 2y - 3 = 0

- tương tự có: a2 + b2 - c = (2)2 + (1)2 + 3 = 8 > 0, đó là phương trình đường tròn trọng điểm I(2;1) bán kính R=2√2.

d) 5x2 + 4y2 + x - 4y + 1 = 0, phương trình này không phải pt đường tròn vì hệ số của x2 và y2 không giống nhau.

 Ví dụ 2: Cho con đường cong (Cm): x2 + y2 - 2mx - 4(m-2)y + 6 - m = 0

a) Tìm điều kiện của m nhằm (Cm) là phương trình đường tròn.

b) khi (Cm) là pt con đường tròn tìm toạ độ trung ương và nửa đường kính theo m.

* Lời giải:

a) Để (Cm) là phương trình con đường tròn thì: m2 +<2(m-2)>2 - (6 -m) > 0

⇔ mét vuông + 4m2 - 16m + 16 - 6 + m > 0

⇔ 5m2 - 15m + 10 > 0

⇔ m2 - 3m + 2 > 0

⇔ m 2

b) Với đk trên thì (Cm) gồm tâm I và cung cấp kính 

*

 Ví dụ 3: Cho (Cα): x2 + y2 - 2xcosα - 2ysinα + cos2α = 0 (với α ≠ kπ)

a) CMR (Cα) là đường tròn

b) Xác định α nhằm (Cα) có bán kính lớn nhất

c) tra cứu quỹ tính chổ chính giữa I của (Cα)

* Lời giải:

a) Để (Cα) là mặt đường tròn thì : cos2α + sin2α - cos2α > 0

- Ta có; VT = cos2α + sin2α - cos2α = 1 - cos2α = 2sin2α > 0 (với α ≠ kπ)

- lưu ý: Nếu α = kπ mặt đường tròn là 1 trong những điểm.

b) Để (Cα) có bán kính lớn nhất:

- Ta có: R2 = 2sin2α ≤ 2 (do 0 ≤ sin2α ≤ 1)

 ⇒ Rmax = √2 khi sinα = 1 ⇒ α = (π/2 + kπ).

c) Đường tròn Cα gồm toạ độ trung khu I(cosα; sinα) tức là: 

*
 khử α ta có: x2 + y2 = 1 chính là quỹ tích tâm I của Cα.

• Dạng 2: Lập phương trình mặt đường tròn đi qua những điểm

* Phương pháp:

° Cách 1: 

 - kiếm tìm toạ độ trung tâm I(a;b) của mặt đường tròn (C)

 - Tìm nửa đường kính R của (C)

 - Viết phương trình con đường tròn (C) dạng: (x - a)2 + (y - b)2 = R2

° bí quyết 2: Giả sử phương trình con đường tròn (C) tất cả dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0.

 - Từ điều kiện bài toán cho tùy chỉnh thiết lập hệ pt 3 ẩn a, b, c

 - Giải hệ search a, b, c nuốm vào pt con đường tròn (C).

* lưu giữ ý: Đường tròn (C) đi qua điểm A, B thì IA2 = IB2 = R2 cùng thường được vận dụng vào việc yêu cầu viết phương trình con đường tròn nước ngoài tiếp tam giác ABC (chính là viết pt con đường tròn qua 3 điểm A, B, C).

 Ví dụ: Lập phương trình mặt đường tròn (C) trong số trường phù hợp sau:

a) có tâm I(1;-3) và đi qua điểm O(0;0)

b) Có 2 lần bán kính AB cùng với A(1;1), B(5,3).

c) Đi qua 3 điểm A(-1;3), B(3;5), C(4;-2)

* Lời giải:

a) (C) bao gồm tâm I(1;-3) và đi qua điểm O(0;0):

- Ta bao gồm R = OI, mà 

*

⇒ Đường tròn (C) tất cả tâm I(1;-3) và bán kính 

*
 có pt:

 (x - 1)2 + (y + 3)2 = 10

b) (C) có đường kính AB cùng với A(1;1), B(5,3).

- Ta bao gồm toạ độ trọng tâm I của (C) là trung điểm A,B là:

 

*
 
*

- buôn bán kính 

*

⇒ Đường tròn (C) tất cả tâm I(3;2) và bán kính

*
 có pt:

(x - 3)2 + (y - 2)2 = 5

c) Đường tròn (C) trải qua 3 điểm A(-1;3), B(3;5), C(4;-2)

- Goi (C) bao gồm dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0.

- bởi (C) đi qua A, B, C bắt buộc thay thứu tự toạ độ A, B, C vào pt mặt đường tròn (C) ta bao gồm hệ sau:

 

*
 
*
*

- Giải hệ trên ta được 

*

⇒ Đường tròn (C) là: 

*

• Dạng 3: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với mặt đường thẳng

* Phương pháp: nhờ vào tính hóa học tiếp tuyến

- Đường tròn (C) xúc tiếp với con đường thẳng (Δ) thì: d = R

- Đường tròn (C) xúc tiếp với con đường thẳng (Δ) tại điểm A thì: d = IA = R

- Đường tròn (C) xúc tiếp với 2 mặt đường thẳng (Δ1) với (Δ2) thì: d = d = R

 Ví dụ 1: Lập phương trình mặt đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau:

a) (C) bao gồm tâm I(2;5) cùng tiếp xúc với Ox

b) (C) bao gồm tâm I(-1;2) và tiếp xúc với mặt đường thẳng (Δ): x + 2y - 8 = 0

c) (C) trải qua A(2;-1) với tiếp xúc với 2 trục toạ độ Ox, Oy

* Lời giải:

a) (C) gồm tâm I(2;5) với tiếp xúc cùng với Ox

- Ox có phương trình: y = 0

- nửa đường kính R của mặt đường tròn là khoảng cách từ I đến Ox ta có:

 

*

⇒ Phương trình đường tròn (C) tất cả dạng: (x - 2)2 + (y - 5)2 = 25

b) (C) gồm tâm I(-1;2) cùng tiếp xúc với mặt đường thẳng (Δ): x + 2y - 8 = 0

- Ta có:

*
*

⇒ Phương trình con đường tròn (C) bao gồm dạng: (x + 1)2 + (y - 2)2 = 5

c) (C) đi qua A(2;-1) với tiếp xúc cùng với 2 trục toạ độ Ox, Oy

- bởi A nằm ở góc phần tư thứ tư phải đường tròn cũng phía trong góc phần tứ thứ tứ này, yêu cầu toạ độ trung khu I=(R;-R).

- Ta có:

*

⇔ R2 = R2 - 4R + 4 + R2 - 2R + 1

⇔ R2 - 6R + 5 = 0

⇔ R = 1 hoặc R = 5

⇒ Vậy có 2 con đường tròn thoả mãn điều kiện bài toán là:

 (C1): (x - 1)2 + (y + 1)2 = 1

 (C2): (x - 5)2 + (y + 5)2 = 25

 Ví dụ 2: Trong hệ toạ độ Oxy cho hai tuyến đường thẳng (d1): x + 2y - 3 = 0 cùng (d2): x + 3y - 5 = 0. Lập phương trình mặt đường tròn có bán kính bằng R=√10 gồm tâm thuộc d1 với tiếp xúc cùng với d2.

* Lời giải:

- tâm I ∈ d1 phải I(-2a+3;a) vì (C) tiếp xúc với d2 bắt buộc ta có:

 

*
*

⇒ I1(19;-8) với I2(-21;12)

⇒ tất cả 2 con đường tròn thoả mãn đk là:

 (C1): (x - 19)2 + (y + 8)2 = 10

 (C2): (x + 21)2 + (y - 12)2 = 10

 Ví dụ 3: Trong hệ toạ độ Oxy cho hai tuyến phố thẳng (d1): x + 2y - 8 = 0 cùng (d2): 2x + y + 5 = 0 . Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên (d): x - 2y + 1 = 0 tiếp xúc với (d1) và d2.

* Lời giải:

- Tâm I ∈ d nên I(2a-1;a) vày (C) xúc tiếp với (d1) và (d2) đề nghị ta có:

*

*

*
*

⇒ Vậy tất cả 2 mặt đường tròn đống ý điều kiện.

- với a = -12 thì I(-25;-12), 

*
 Phương trình đường tròn (C1):

 

*
 

- Với 

*
 thì 
*
*
 Phương trình mặt đường tròn (C2):

 

*

• Dạng 4: Viết phương trình con đường tròn nội tiếp tam giác

* Phương pháp:

° cách 1:

- Tính diện tích S cùng nửa chu vi p của tam giác nhằm tính được nửa đường kính đường tròn 

*

- gọi I(a;b) là tâm của con đường tròn nội tiếp thì khoảng cách từ I tới 3 cạnh của tam giác bằng nhau và bởi r, từ kia lập thành hệ pt với 2 ẩn a, b.

- Giải hệ phương trình ta tìm kiếm được giá trị của a, b và phương trình đường tròn.

° biện pháp 2:

- Viết phương trình mặt đường phân giác trong của 2 góc vào tam giác.

- tìm kiếm giao điểm 2 mặt đường phân giác đó ta được vai trung phong I của mặt đường tròn

- Tính khoảng cách từ I cho tới 1 cạnh ngẫu nhiên của tam giác ta được phân phối kính.

 Ví dụ 1: Cho 2 điểm A(4;0) và B(0;3)

a) Viết phương trình con đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB

b) Viết phương trình con đường tròn nội tiếp tam giác OAB

* Lời giải:

a) Tam giác OAB vuông trên O bắt buộc tâm của mặt đường tròn ngoại tiếp tam giác tam giác OAB là trung điểm của cạnh huyền AB đề nghị tâm toạ độ trung khu I của mặt đường tròn nội tiếp là: I=(2;3/2).

⇒ chào bán kính: R = IA = 5/2

⇒ PT đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là: 

*

b) Ta đang tính diện tích và nửa chu vi của OAB

- Ta có

*

- Nửa chu vi: 

*

⇒ 

*

- bởi vì đường tròn tiếp xúc với 2 trục toạ độ yêu cầu tâm Ir=(r;r)=(1;1)

⇒ Pt đường tròn là: (x - 1)2 + (y - 1)2 = 1

 Ví dụ 2: Viết phương trình con đường tròn nội tiếp tam giác ABC tạo vì 3 mặt đường thẳng:

 (d1): 4x - 3y - 65 = 0

 (d2): 7x - 24y + 55 = 0

 (d3): 3x + 4y - 5 = 0

* Lời giải:

- hotline ABC là tam giác đã mang lại với các cạnh là:

 AB: 4x - 3y - 65 = 0

 BC: 7x - 24y + 55 = 0

 CA: 3x + 4y - 5 = 0

- Ta tính được A(11;-7), B(23;9), C(-1;2)

- Ta gồm VTPT:

*
,
*
 

- thường thấy tam giác vuông tại A do 

*

- Tính độ dài các cạnh ta có: AB = đôi mươi ; BC = 25; CA = 15

- diện tích s tam giác ABC: SABC = 150

- Nửa chu vi là: 

*

- nửa đường kính đường tròn nội tiếp là: r = S/P = 150/30 = 5.

Xem thêm: New Chứng Nhận Fcc Id Là Gì, Có Ý Nghĩa Như Thế Nào Đối Với Sản Phẩm

- Gọi nửa đường kính đường tròn nội tiếp là I(a;b) thì khoảng cách từ I tới những đường thẳng đã cho đều là r=5 phải ta có.