Giải bài bác tập trang 91 bài xích 1 vectơ trong không khí và sự đồng phẳng của các vectơ SGK Hình học 11 Nâng cao. Câu 1: tía vecto tất cả đồng phẳng ko nếu 1 trong các hai điều tiếp sau đây xảy ra...

Bạn đang xem: Giải bài tập hình nâng cao 11


Câu 1 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao

Ba vecto (overrightarrow a ,overrightarrow b ,overrightarrow c ) bao gồm đồng phẳng không nếu một trong những hai điều tiếp sau đây xảy ra ?

a. Bao gồm một vecto trong bố vecto đó bằng (overrightarrow 0 )

b. Gồm hai vecto trong bố vecto đó cùng phương.

Giải

a. Trả sử (overrightarrow a = overrightarrow 0 .) Áp dụng định lí 1 : (overrightarrow a = 0.overrightarrow b + 0.overrightarrow c ) phải (overrightarrow a ,overrightarrow b ,overrightarrow c ) đồng phẳng.

b. đưa sử (overrightarrow a ,overrightarrow b ) thuộc phương, lúc đó có số k làm sao cho (overrightarrow a = koverrightarrow b )

( Rightarrow overrightarrow a = koverrightarrow b + 0.overrightarrow c ) do đó (overrightarrow a ,overrightarrow b ,overrightarrow c ) đồng phẳng.

 

Câu 2 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao

Cho hình chóp S.ABCD.

a. Chứng tỏ rằng giả dụ ABCD là hình bình hành thì (overrightarrow SB + overrightarrow SD = overrightarrow SA + overrightarrow SC ). Điều trái lại có đúng không ?

b. điện thoại tư vấn O là giao điểm của AC cùng BD. Minh chứng rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi (overrightarrow SA + overrightarrow SB + overrightarrow SC + overrightarrow SD = 4overrightarrow SO )

Giải

*

a. Ta có:

(eqalign và overrightarrow SB + overrightarrow SD = overrightarrow SA + overrightarrow SC cr và Leftrightarrow overrightarrow SB - overrightarrow SC = overrightarrow SA - overrightarrow SD Leftrightarrow overrightarrow CB = overrightarrow DA cr )

⇔ ABCD là hình bình hành.

b. Ta có:

(eqalign và overrightarrow SA + overrightarrow SB + overrightarrow SC + overrightarrow SD = 4overrightarrow SO cr và Leftrightarrow overrightarrow SO + overrightarrow OA + overrightarrow SO + overrightarrow OB + overrightarrow SO + overrightarrow OC + overrightarrow SO + overrightarrow OD = 4overrightarrow SO cr và Leftrightarrow overrightarrow OA + overrightarrow OB + overrightarrow OC + overrightarrow OD = overrightarrow 0 ,,left( * ight) cr )

Nếu ABCD là hình bình hành thì (overrightarrow OA + overrightarrow OB + overrightarrow OC + overrightarrow OD = overrightarrow 0 ) suy ra

 (overrightarrow SA + overrightarrow SB + overrightarrow SC + overrightarrow SD = 4overrightarrow SO ) (do (*))

Ngược lại, giả sử (overrightarrow SA + overrightarrow SB + overrightarrow SC + overrightarrow SD = 4overrightarrow SO ,) ta bao gồm (*).

Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AC, BD thì :

(overrightarrow OA + overrightarrow OC = 2overrightarrow OM ,overrightarrow OB + overrightarrow OD = 2overrightarrow ON )

Từ (*) suy ra (2left( overrightarrow OM + overrightarrow ON ight) = overrightarrow 0 ,) điều này chứng minh O, M, N thẳng hàng

Mặt khác, M trực thuộc AC, N ở trong BD với O là giao điểm của AC với BD buộc phải O, M, N thẳng sản phẩm chỉ xẩy ra khi O ≡ M ≡ N, tức O là trung điểm AC với BD, xuất xắc ABCD là hình bình hành.

 

 

Câu 3 trang 91 SGK Hình học tập 11 Nâng cao

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Call G và G’ lần lượt là giữa trung tâm của tam giác ABC và A’B’C’, I là giao điểm của hai tuyến phố thẳng AB’ với A’B. Chứng minh rằng những đường trực tiếp GI và CG’ tuy nhiên song với nhau.

Giải

*

Đặt (overrightarrow AA" = overrightarrow a ,overrightarrow AB = overrightarrow b ,overrightarrow AC = overrightarrow c )

Thì (overrightarrow AG = 1 over 3left( overrightarrow b + overrightarrow c ight),overrightarrow AI = 1 over 2left( overrightarrow a + overrightarrow b ight))

Do đó, (overrightarrow GI = overrightarrow AI - overrightarrow AG = 3overrightarrow a + overrightarrow b - 2overrightarrow c over 6)

Mặt khác : (overrightarrow AG" = 1 over 3left( overrightarrow AA" + overrightarrow AB" + overrightarrow AC" ight) = overrightarrow a + 1 over 3left( overrightarrow b + overrightarrow c ight))

( Rightarrow overrightarrow CG" = overrightarrow AG" - overrightarrow AC = overrightarrow a + 1 over 3left( overrightarrow b + overrightarrow c ight) - overrightarrow c )

(= 3overrightarrow a + overrightarrow b - 2overrightarrow c over 3)

Vậy (overrightarrow CG" = 2overrightarrow GI .) ko kể ra, điểm G không thuộc mặt đường thẳng CG’ đề xuất GI với CG’ là hai đường thẳng song song.

 

Câu 4 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Call M với N theo thứ tự là trung điểm của CD với DD’; G với G’ theo lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A’D’MN cùng BCC’D’. Chứng minh rằng mặt đường thẳng GG’ và mặt phẳng (ABB’A’) tuy nhiên song cùng với nhau.

Giải

*

Đặt (overrightarrow AB = overrightarrow a ,overrightarrow AD = overrightarrow b ,overrightarrow AA" = overrightarrow c .)

Vì G’ là giữa trung tâm tứ diện BCC’D’ đề nghị (overrightarrow AG" = 1 over 4left( overrightarrow AB + overrightarrow AC + overrightarrow AC" + overrightarrow AD" ight))

Và G là trọng tâm tứ diện A’D’MN nên

(eqalign & overrightarrow AG = 1 over 4left( overrightarrow AA" + overrightarrow AD" + overrightarrow AM + overrightarrow AN ight) cr & Rightarrow overrightarrow GG" = overrightarrow AG" - overrightarrow AG cr& = 1 over 4left( overrightarrow A"B + overrightarrow D"C + overrightarrow MC" + overrightarrow ND" ight) cr và = 1 over 4left( overrightarrow a - overrightarrow c + overrightarrow a - overrightarrow c + 1 over 2overrightarrow a + overrightarrow c + 1 over 2overrightarrow c ight) cr & = 1 over 8left( 5overrightarrow a - overrightarrow c ight) = 1 over 8left( 5overrightarrow AB - overrightarrow AA" ight) cr )

Do đó (overrightarrow AB ,overrightarrow AA" ,overrightarrow GG" ) đồng phẳng. Khía cạnh khác, G ko thuộc phương diện phẳng (ABB’A’) đề nghị đường thẳng GG’ cùng mặt phẳng (ABB’A’) tuy vậy song cùng với nhau.

 

Câu 5 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao

Trong không khí cho tam giác ABC.

a. Minh chứng rằng ví như điểm M trực thuộc mp(ABC) thì có bố số x, y, z cơ mà x + y + z = 1 làm sao cho (overrightarrow OM = overrightarrow xOA + overrightarrow yOB + overrightarrow zOC ) với tất cả điểm O.

b. Ngược lại, nếu tất cả một điểm O trong không khí saao cho (overrightarrow OM = overrightarrow xOA + overrightarrow yOB + overrightarrow zOC ,) trong số đó x + y + z = 1 thì điểm M nằm trong mp(ABC).

Giải

a. Vày (overrightarrow AB ,overrightarrow AC ) là nhì vecto không thuộc phương buộc phải điểm M thuộc mp(ABC) khi và chỉ còn khi bao gồm (overrightarrow AM = loverrightarrow AB + moverrightarrow AC )

hay (overrightarrow OM - overrightarrow OA = lleft( overrightarrow OB - overrightarrow OA ight) + mleft( overrightarrow OC - overrightarrow OA ight)) với tất cả điểm O

tức là (overrightarrow OM = left( 1 - l - m ight)overrightarrow OA + loverrightarrow OB + moverrightarrow OC )

đặt (1 - l - m = x,l = y,m = z) thì (overrightarrow OM = xoverrightarrow OA + yoverrightarrow OB + zoverrightarrow OC ) cùng với (x + y + z = 1.)

b. Trả sử (overrightarrow OM = xoverrightarrow OA + yoverrightarrow OB + zoverrightarrow OC ) cùng với (x + y + z = 1,) ta gồm :

(eqalign và overrightarrow OM = left( 1 - y - z ight)overrightarrow OA + yoverrightarrow OB + zoverrightarrow OC cr và hay,overrightarrow OM - overrightarrow OA = yoverrightarrow AB + zoverrightarrow AC cr và ext có nghĩa là overrightarrow AM = yoverrightarrow AB + zoverrightarrow AC cr )

Mà (overrightarrow AB ,overrightarrow AC ) không cùng phương bắt buộc M thuộc mặt phẳng (ABC)

 

Câu 6 trang 91 SGK Hình học tập 11 Nâng cao

Cho hình chóp S.ABC. Lấy những điểm A’, B’, C’ theo thứ tự thuộc những tia SA, SB, SC làm sao cho SA = aSA’, SB = bSB’, SC = cSC’, trong các số đó a, b, c là các số vậy đổi. Minh chứng rằng khía cạnh phẳng (A’B’C’) đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a + b + c = 3.

Xem thêm: Cấp Công Trình Cấp 3 Là Gì ? Quy Định Phân Cấp Công Trình 1, 2, 3, 4 Mới Nhất

Giải

*

Ta có: (overrightarrow SA = aoverrightarrow SA" ,;overrightarrow SB = boverrightarrow SB" ,;overrightarrow SC = coverrightarrow SC .)

Gọi G là giữa trung tâm của tam giác ABC thì

(eqalign & overrightarrow SG = 1 over 3.left( overrightarrow SA + overrightarrow SB + overrightarrow SC ight) cr & Vay,overrightarrow SG = a over 3overrightarrow SA" + b over 3overrightarrow SB" + c over 3overrightarrow SC" cr )

Mặt phẳng (A’B’C’) đi qua G khi còn chỉ khi 4 điểm G, A’, B’, C’ đồng phẳng, yêu cầu theo hiệu quả bài tập 5 (SGK trang 91) , điều đó xảy ra nếu và chỉ nếu (a over 3 + b over 3 + c over 3 = 1) , tức là: a + b + c = 3.