Phương trình, một tư tưởng hết sức rất gần gũi mà các em được được học từ tiểu học qua những việc tìm x và xuyên thấu chương trình cấp 2, nổi bật là phương trình bậc hai cùng định lý Vi-et. Trong chương trình đại số 10, những em đã lần lượt được khám phá các dạng phương trình, hệ phương trình cùng những phương pháp giải của chúng. Mở đầu, những em cùng tò mò bài học tập Đại cương cứng về phương trình.

Bạn đang xem: Đại cương về phương trình lớp 10


1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định nghĩa

1.2.Phương trình tương tự và phương trình hệ quả

2. Bài tập minh hoạ

3.Luyện tập bài xích 1 chương 3 đại số 10

3.1. Trắc nghiệm đại cưng cửng về phương trình

3.2. Bài tập SGK & cải thiện đại cương cứng về phương trình

4.Hỏi đáp vềbài 1 chương 3 đại số 10


*

Cho nhị hàm số (y = fleft( x ight)) cùng (y = gleft( x ight)) gồm tập xác định lần lượt là ( mD_f) với ( mD_g). Đặt ( mD = D_f cap D_g.) Mệnh đề chứa thay đổi "(f(x) = g(x))"được hotline là phương trình một ẩn ; (x) được call là ẩn số (hay ẩn) với ( mD) call là tập khẳng định của phương trình.

(x_0 in D) gọi là 1 nghiệm của phương trình (fleft( x ight) = gleft( x ight)) nếu "(f(x) = g(x))"là mệnh đề đúng.

Chú ý: các nghiệm của phương trình (fleft( x ight) = gleft( x ight)) là các hoành độ giao điểm đồ dùng thị nhì hàm số (y = fleft( x ight)) cùng (y = gleft( x ight)).


1.2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả


a) Phương trình tương đương

Hai phương trình (f_1left( x ight) = g_1left( x ight)) và (f_2left( x ight) = g_2left( x ight)) được gọi là tương đương nếu chúng tất cả cùng tập nghiệm. Kí hiệu là (f_1left( x ight) = g_1left( x ight) Leftrightarrow f_2left( x ight) = g_2left( x ight)).

Phép đổi khác không làm biến hóa tập nghiệm của phương trình call là phép biến hóa tương đương.b) Phương trình hệ quả

(f_2left( x ight) = g_2left( x ight)) hotline là phương trình hệ trái của phương trình (f_1left( x ight) = g_1left( x ight)) ví như tập nghiệm của nó đựng tập nghiệm của phương trình (f_1left( x ight) = g_1left( x ight)).

Kí hiệu là (f_1left( x ight) = g_1left( x ight) Rightarrow f_2left( x ight) = g_2left( x ight))

c) những định lý

Định lý 1: mang lại phương trình (fleft( x ight) = gleft( x ight)) tất cả tập khẳng định ( mD); (y = hleft( x ight)) là hàm số xác định trên ( mD). Khi ấy trên ( mD), phương trình sẽ cho tương tự với phương trình sau:

(1),,fleft( x ight) + hleft( x ight) = gleft( x ight) + hleft( x ight))

(2),,fleft( x ight).hleft( x ight) = gleft( x ight).hleft( x ight)) giả dụ (hleft( x ight) e 0) với đa số (x in D)

Định lý 2: khi bình phương nhì vế của một phương trình, ta được phương trình hệ trái của phương trình đã cho.

(fleft( x ight) = gleft( x ight) Rightarrow f^2left( x ight) = g^2left( x ight)).

Lưu ý: Khi giải phương trình ta nên chú ý

Đặt đk xác định(đkxđ) của phương trình và khi tìm kiếm được nghiệm của phương trình phải so sánh với đk xác định.Nếu nhị vế của phương trình luôn thuộc dấu thì bình phương nhị vế của chính nó ta chiếm được phương trình tương đương.Khi đổi khác phương trình chiếm được phương trình hệ trái thì khi tìm kiếm được nghiệm của phương trình hệ quả nên thử lại phương trình lúc đầu để vứt bỏ nghiệm nước ngoài lai.

DẠNG TOÁN 1: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Phương pháp giải

- Điều kiện khẳng định của phương trình bao hàm các đk để quý hiếm của (fleft( x ight),,,gleft( x ight)) thuộc được khẳng định và các điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong đề bài)

- Điều kiện nhằm biểu thức

(sqrt fleft( x ight) ) khẳng định là (fleft( x ight) ge 0)(frac1fleft( x ight)) xác định là (fleft( x ight) e 0)(frac1sqrt fleft( x ight) ) khẳng định là (fleft( x ight) > 0)Ví dụ 1:

Tìm điều kiện xác định của phương trình sau:

a) (x + frac5x^2 - 4 = 1)

b) (1 + sqrt 3 - x = sqrt x - 2 )

Hướng dẫn:

a) Điều kiện xác minh của phương trình là (x^2 - 4 e 0 Leftrightarrow x^2 e 4 Leftrightarrow x e pm 2.)

b) Điều kiện xác định của phương trình là (left{ eginarray*20c3 - x ge 0\x - 2 ge 0endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarray*20cx le 3\x ge 2endarray ight. Leftrightarrow 2 le x le 3.)

Ví dụ 2:

Tìm điều kiện khẳng định của phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nó:

a) (4x + sqrt 4x - 3 = 2sqrt 3 - 4x + 3)

b) (sqrt - x^2 + 6x - 9 + x^3 = 27)

Hướng dẫn:

a) Điều kiện xác minh của phương trình là(left{ eginarray*20c4 mx - 3 ge 0\3 - 4 mx ge 0endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarray*20cx ge frac34\x le frac34endarray Leftrightarrow x = frac34 ight.)

Thử vào phương trình thấy (x = frac34) thỏa mãn

Vậy tập nghiệp của phương trình là ( mS = left frac34 ight.)

b) Điều kiện xác định của phương trình là ( - x^2 + 6x - 9 ge 0 Leftrightarrow - left( x - 3 ight)^2 ge 0 Leftrightarrow x = 3)

Thay ( mx = 3) vào thấy thỏa mãn phương trình

Vậy tập nghiệp của phương trình là ( mS = left 3 ight.)

DẠNG TOÁN 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ HỆ QUẢ

Phương pháp giải:

Để giải phương trình ta thực hiện các phép biến đổi để mang đến phương trình tương đương với phương trình vẫn cho đơn giản và dễ dàng hơn trong việc giải nó. Một số phép thay đổi thường sử dụng

Cộng (trừ) cả nhị vế của phương trình mà lại không làm biến đổi điều kiện khẳng định của phương trình ta thu được phương trình tương tự phương trình vẫn cho.Nhân (chia) vào hai vế với cùng 1 biểu thức khác không với không làm chuyển đổi điều kiện xác minh của phương trình ta thu được phương trình tương tự với phương trình sẽ cho.Bình phương nhì vế của phương trình ta thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho.Bình phương hai vế của phương trình(hai vế luôn luôn cùng dấu) ta chiếm được phương trình tương đương với phương trình đang cho.

Ví dụ 3:

Tìm số nghiệm của các phương trình sau:

a) (1 + frac1x - 3 = frac5x^2 - x - 6)

b) (fracx^2sqrt x - 2 = frac1sqrt x - 2 - sqrt x - 2 )

Hướng dẫn:

a) ĐKXĐ : (left{ eginarray*20cx e 3\x^2 - x - 6 e 0endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarray*20cx e 3\x e - 2endarray ight.)

Với điều kiện đó phương trình tương đương với

(1 + frac1x - 3 = frac5left( x - 3 ight)left( x + 2 ight) Leftrightarrow left( x - 3 ight)left( x + 2 ight) + x + 2 = 5)

( Leftrightarrow x^2 = 9 Leftrightarrow x = pm 3)

Đối chiếu với đk ta tất cả nghiệm của phương trình là ( mx = - 3).

Xem thêm: Giải Bài Tập Lý 9 Bài 6 : Bài Tập Vận Dụng Định Luật Ôm, Giải Sbt Vật Lý 9: Bài 6

b) ĐKXĐ: ( mx > 2)

Với điều kiện đó phương trình tương đương với

(x^2 = 1 - left( x - 2 ight) Leftrightarrow x^2 + x - 3 = 0 Leftrightarrow x = frac - 1 pm sqrt 13 2)

Đối chiếu với điều kiện ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn

Vậy phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 2:

Tìm (m) nhằm cặp phương trình sau tương đương

(mx^2 - 2left( m - 1 ight)x + m - 2 = 0) (1) với (left( m - 2 ight)x^2 - 3x + m^2 - 15 = 0) (2)

Hướng dẫn:

Giả sử hai phương trình (1) với (2) tương đương

Ta tất cả (left( 1 ight) Leftrightarrow left( x - 1 ight)left( mx - m + 2 ight) = 0 Leftrightarrow left< eginarray*20cx = 1\mx - m + 2 = 0endarray ight.)

Do nhị phương trình tương tự nên (x = 1) là nghiệm của phương trình (2)

Thay (x = 1) vào phương trình (2) ta được

(left( m - 2 ight) - 3 + m^2 - 15 = 0 Leftrightarrow m^2 + m - trăng tròn = 0 Leftrightarrow left< eginarray*20cm = 4\m = - 5endarray ight.)

Với (m = - 5) : Phương trình (1) vươn lên là ( - 5x^2 + 12x - 7 = 0 Leftrightarrow left< eginarray*20cx = 1\x = frac75endarray ight.)

Phương trình (2) trở nên ( - 7x^2 - 3x + 10 = 0 Leftrightarrow left< eginarray*20cx = 1\x = - frac107endarray ight.)

Suy ra hai phương trình không tương đương

Với (m = 4) : Phương trình (1) đổi thay (4x^2 - 6x + 2 = 0 Leftrightarrow left< eginarray*20cx = frac12\x = 1endarray ight.)

Phương trình (2) trở thành (2x^2 - 3x + 1 = 0 Leftrightarrow left< eginarray*20cx = 1\x = frac12endarray ight.)