Bạn đang xem: Chứng minh bất đẳng thức lớp 10

*
32 trang
*
trường đạt
*
*
3325
*
2Download
Bạn đang xem đôi mươi trang mẫu mã của tài liệu "19 phương thức chứng minh Bất đẳng thức", để cài đặt tài liệu nơi bắt đầu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ngơi nghỉ trên


Xem thêm: Sops Là Gì ? Tìm Hiểu Tổng Quan Về S Ý Nghĩa Của Từ Sop

PHẦN 1CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý1/Định nghĩa 2/Tính chất+ A>B + A>B và B >C + A>B A+C >B + C + A>B và C > D A+C > B + D + A>B và C > 0 A.C > B.C + A>B và C B > 0 A > B + A > B A > B với n lẻ + > A > B cùng với n chẵn + m > n > 0 và A > 1 A >A + m > n > 0 cùng 0 0)+ ( lốt = xẩy ra khi A.B B. Ta lập hiệu A –B > 0 để ý dùng hằng bất đẳng thức M 0 với" MVí dụ 1 " x, y, z chứng minh rằng : a) x + y + z xy+ yz + zx b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz c) x + y + z+3 2 (x + y + z)Giải:a) Ta xét hiệu : x + y + z- xy – yz – zx =.2 .( x + y + z- xy – yz – zx)=đúng với đa số x;y;z vày (x-y)2 0 với"x ; y lốt bằng xẩy ra khi x=y (x-z)2 0 với"x ; z lốt bằng xảy ra khi x=z (y-z)2 0 với" z; y dấu bằng xẩy ra khi z=y Vậy x + y + z xy+ yz + zx.Dấu bằng xẩy ra khi x = y =zb)Ta xét hiệu: x + y + z- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z- 2xy +2xz –2yz= ( x – y + z) đúng với đa số x;y;zVậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;zDấu bằng xảy ra khi x+y=zc) Ta xét hiệu: x + y + z+3 – 2( x+ y +z ) = x- 2x + 1 + y -2y +1 + z-2z +1= (x-1)+ (y-1) +(z-1) 0. Dấu(=)xảy ra lúc x=y=z=1Ví dụ 2: chứng minh rằng :a) ; b) c) Hãy tổng quát bài xích toánGiải:a) Ta xét hiệu = = = Vậy .Dấu bằng xảy ra khi a=bb)Ta xét hiệu =.VậyDấu bằng xảy ra khi a = b =cc)Tổng quátTóm lại quá trình để chứng minh AB theo định nghĩaBước 1: Ta xét hiệu H = A - BBước 2:Biến thay đổi H=(C+D)hoặc H=(C+D)+.+(E+F)Bước 3:Kết luận A ³ BVí dụ 1: minh chứng "m,n,p,q ta đều phải có : m+ n+ p+ q+1³ m(n+p+q+1) Giải: (luôn đúng)Dấu bằng xẩy ra khi lấy ví dụ như 2: chứng tỏ rằng với đa số a, b, c ta luôn có :Giải: Ta có : , Đúng với đa số a, b, c.Phương pháp 2 : cần sử dụng phép chuyển đổi tương đươngKiến thức: Ta thay đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức sẽ được minh chứng là đúng.Nếu A 1 x.y.z>1 mâu thuẫn gt x.y.z=1 nên phải xảy ra trường vừa lòng trên tức là có đúng một trong những ba số x ,y ,z là số to hơn 1Ví dụ 5: minh chứng rằng : Giải:Ta có : tựa như ta gồm :,Cộng vế theo vế những bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được : (*)Ta có : giống như : , cộng vế theo vế các bất đẳng thức (4), (5), (6), ta được : (**)Từ (*) với (**) , ta được : (đpcm)Phương pháp 3: cần sử dụng bất đẳng thức phụKiến thức: a) b) dấu( = ) lúc x = y = 0 c) d)Ví dụ 1 cho a, b ,c là những số không âm chứng minh rằng (a+b)(b+c)(c+a)8abcGiải: cần sử dụng bất đẳng thức phụ: Tacó ; ; (a+b)(b+c)(c+a)8abc dấu “=” xẩy ra khi a = b = c phương thức 4:Bất đẳng thức Cô sy loài kiến thức: a/ Với nhì số không âm : , ta có: . Vết “=” xảy ra khi a=bb/ Bất đẳng thức không ngừng mở rộng cho n số ko âm :Dấu “=” xẩy ra khi chú ý : ta cần sử dụng bất đẳng thức Côsi lúc đề cho phát triển thành số không âm.Ví dụ 1 : Giải phương trình :Giải : nếu đặt t =2x thì pt thay đổi pt bậc 6 theo t nên ta đặt lúc đó phương trình bao gồm dạng :Vế trái của phương trình:Vậy phương trình tương tự với : .Ví dụ 2 : mang lại x, y , z > 0 cùng x + y + z = 1. Tìm kiếm GTLN của p =Giải : p. = 3- () = 3 – Q. Theo BDT Côsi , nếu a, b, c > 0 thì Suy ra Q = -Q nên phường = 3 – Q 3-=Vậy max phường = .khi x = y = z = .Ví dụ 3: mang đến a, b, c >0 . Chứng minh rằng: Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta gồm :Tương trường đoản cú :Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.Ví dụ 4 : CMR trong tam giác ABC : (*)Giải : Theo bất đẳng thức Côsi :Cũng theo bất đẳng thức Côsi :Viết tiếp hai BDT tựa như (2) rồi nhân với nhau sẽ được Từ (1),(3) suy ra (*). Lốt “=” xảy ra khi a = b = c xuất xắc ABC là hầu như .Ví dụ 5:Cho . Chứng minh rằng: Giải: Đặt tất cả 2 nghiệm a,cMà:Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: cách thức 5 Bất đẳng thức BunhiacopskiKiến thức:Cho 2n số thực (): . Ta luôn luôn có:Dấu “=” xẩy ra khi xuất xắc (Quy mong : nếu mẫu = 0 thì tử = 0 )Chứng minh:Đặt nếu như a = 0 xuất xắc b = 0: Bất đẳng thức luôn đúng.Nếu a,b > 0:Đặt: , núm thì: phương diện khác: Suy ra: Lại có: Suy ra: Dấu”=” xẩy ra Ví dụ 1 :Chứng minh rằng: , ta có: Giải: Ta có: Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski một đợt nữa:Ví dụ 2: mang lại tam giác ABC có các góc A,B,C nhọn. Search GTLN của:Giải:* Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộngCho m bộ số, mỗi cỗ số bao gồm n số không âm: vắt thì: Dấu”=” xẩy ra bô số (a,b,.,c) sao cho: với từng i = 1,2,,m thì sao cho: , tuyệt Ví dụ 1: Cho chứng minh rằng: Giải: ta có: vì thế theo bất đẳng thức Bunhiacopski:(đpcm)Ví dụ 2: cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng: Giải: dùng bất đẳng thức Bunhiacopski: Tacó ac+bdmà ví dụ 3: minh chứng rằng : Giải: cần sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski giải pháp 1: Xét cặp số (1,1,1) với (a,b,c) ta bao gồm 3 Điều phải chứng minh Dấu bằng xẩy ra khi a=b=cPhương pháp 6: Bất đẳng thức Trê- bư-sépKiến thức:a)Nếu thì .Dấu ‘=’ xẩy ra khi còn chỉ khib)Nếu thìDấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khiVí dụ 1: mang đến ABC bao gồm 3 góc nhọn nội tiếp con đường tròn nửa đường kính R = 1 cùng S là diện tích tan giác. Chứng minh rằng ABC là tam giác đều.Giải: Không bớt tính bao quát ta mang sư Suy ra:Áp dụng BĐT trebusep ta được:Dấu ‘=’ xảy raMặt khác:Thay (2) vào (1) ta cóDấu ‘=’ xảy ra ABC đều. Lấy ví dụ 2(HS từ bỏ giải): a/Cho a,b,c>0 với a+b+c=1 CMR: b/Cho x,y,z>0 cùng x+y+z=1 CMR:x+2y+z c/Cho a>0 , b>0, c>0 CMR: d)Cho x,y thỏa mãn nhu cầu ;CMR: x+y lấy một ví dụ 3: cho a>b>c>0 cùng . Chứng minh rằngGiải: vày a,b,c đối xứng ,giả sử abc Áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta bao gồm ==Vậy lốt bằng xẩy ra khi a=b=c=Ví dụ 4: mang đến a,b,c,d>0 với abcd =1 .Chứng minh rằng :Giải: Ta tất cả Do abcd =1 yêu cầu cd = (dùng )Ta gồm (1) mặt khác: = (ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) =VậyPhương pháp7 Bất đẳng thức BernouliKiến thức:a)Dạng nguyên thủy: mang lại a-1, Z thì . Vệt ‘=’ xẩy ra khi và chỉ còn khi b) Dạng mở rộng: - đến a > -1, thì . Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a = 0.- cho thì . Lốt bằng xẩy ra khi va chỉ khi.Ví dụ 1 : chứng tỏ rằng .GiảiNếu tuyệt thì BĐT luôn luôn đúngNếu 0 0.Chứng minh rằng . (1)GiảiÁp dụng BĐT Bernouli: (2)Chứng minh tương tự như ta đuợc: (3) (4)Cộng (2) (3) (4) vế theo vế ta có(đpcm)Chú ý: ta có việc tổng quát lác sau đây:“Cho chứng minh rằng .Dấu ‘=’ .(chứng minh tương tự bài trên).Ví dụ 3: mang đến . Minh chứng rằng .GiảiĐặt .Chứng minh tương tự:Cộng (1) (2) (3) vế theo vế ta đượcChú ý: câu hỏi tổng quát mắng dạng này“ mang lại n số Ta luôn luôn có:Ph ương pháp 8: Sử dụng đặc thù bắc cầuKiến thức: A>B và B>C thì A>CVí dụ 1: mang đến a, b, c ,d >0 thỏa mãn nhu cầu a> c+d , b>c+d chứng minh rằng ab >ad+bc Giải:Tacó (a-c)(b-d) > cd ab-ad-bc+cd >cd ab> ad+bc (điều đề nghị chứng minh)Ví dụ 2: cho a,b,c>0 vừa lòng . Chứng minh Giải: Ta bao gồm :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc) 0 ac+bc-ab ( a2+b2+c2) ac+bc-ab 1 phân tách hai vế mang lại abc > 0 ta gồm Ví dụ 3: cho 0 1-a-b-c-dGiải: Ta có (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab vì a>0 , b>0 phải ab>0 (1-a).(1-b) > 1-a-b (1) vì chưng c 0 ta gồm (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) =1-a-b-c-d+ad+bd+cd (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (Điều bắt buộc chứng minh)Ví dụ 4: cho 0 0 1+ > + bmà 0 , > từ bỏ (1) và (2) 1+> +. Vậy + 0 thì tự ` lấy ví dụ như 1: mang lại a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng Giải: Theo tính chất của tỉ lệ thức ta bao gồm (1) mặt khác : (2) từ (1) và (2) ta gồm 1 chứng minh rằng Giải: Ta tất cả với k = 1,2,3,,n-1 vày đó: lấy một ví dụ 2: chứng tỏ rằng: cùng với n là số ng ... 1 . Ta yêu cầu chứng minh: Ta có: (Vì )Bất đẳng thức đúng với n= k+1Vậy theo nguyên tắc quy nạp: lấy ví dụ 5: cho , . Chứng tỏ rằng: Giải n=1: Bất đẳng thức luôn đúngn=k ():giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: n= k+1 . Ta buộc phải chứng minh: (1)Thật vậy: + Vậy (1) được triệu chứng minhVí dụ 6: cho , . Chứng minh rằng: Giải:n=1: Bất đẳng thức luôn luôn đúngn=k ():giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: n= k+1 . Ta cần chứng minh: (1)Đặt: Vậy (1) đựơc hội chứng minhVí dụ 7: chứng tỏ rằng: Giải: n=2 n=k: đưa sử bất đẳng thức đúng, tức là: n= k+1:Ta c ó: (vì ) Bất đẳng thức đúng với n= k+1Vậy ví dụ 8: chứng minh rằng: Giải: n=1: Bất đẳng thức luôn đúngn=k :giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: n= k+1 . Ta cần chứng minh: Ta có: Nên: Bất đẳng thức đúng cùng với n= k+1. Vậy: +Ph ương pháp 16: chứng tỏ phản tận mắt chứng kiến thức: 1) mang sử phải minh chứng bất đẳng thức nào kia đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai cùng kết hợp với các đưa thiết để suy ra điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với mang thiết , hoàn toàn có thể là điều trái ngược nhau .Từ kia suy ra bất đẳng thức cần minh chứng là đúng 2) đưa sử ta phải minh chứng luận đề “p q”Muốn chứng tỏ (với : đưa thiết đúng, : tóm lại đúng) phép chứng minh được thực hiên như sau:Giả sử không có ( hoặc sai) suy ra điều vô lý hoặc sai. Vậy phải gồm (hay đúng)Như vậy để phủ định luận đề ta ghép toàn bộ giả thiết của luận đề với lấp định kết luận của nó . Ta thường dùng 5 hình thức chứng minh phản hội chứng sau : A - cần sử dụng mệnh đề phản hòn đảo : “P Q” B – tủ định rôi suy trái giả thiết C – che định rồi suy trái cùng với điều đúng D – che định rồi suy ra 2 điều trái ngược nhau E – che định rồi suy ra tóm lại :Ví dụ 1: Cho ba số a,b,c thỏa mãn nhu cầu a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0 minh chứng rằng a > 0 , b > 0 , c > 0 Giải: trả sử a 0 thì từ bỏ abc > 0 a 0 cho nên a 0 và a 0 a(b+c) > -bc > 0 do a 0 b + c 0 tương tự như ta gồm b > 0 , c > 0Ví dụ 2:Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn nhu cầu điều khiếu nại ac 2.(b+d) .Chứng minh rằng có ít nhất một trong số bất đẳng thức sau là sai: , Giải: giả sử 2 bất đẳng thức : , đều đúng lúc đó cộng các vế ta được (1) Theo giả thiết ta bao gồm 4(b+d) 2ac (2) từ bỏ (1) với (2) hay (vô lý) Vậy trong 2 bất đẳng thức với có tối thiểu một những bất đẳng thức saiVí dụ 3:Cho x,y,z > 0 cùng xyz = 1. Chứng minh rằng giả dụ x+y+z > thì có 1 trong những ba số này to hơn 1 Giải :Ta bao gồm (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1 =x + y + z – () bởi xyz = theo mang thiết x+y +z > cần (x-1).(y-1).(z-1) > 0 Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một số trong những dương thật vậy trường hợp cả tía số dương thì x,y,z > 1 xyz > 1 (trái mang thiết) Còn ví như 2 vào 3 số kia dương thì (x-1).(y-1).(z-1) ab+bc+acGiải: Ta xét hiệu: b2+c2- ab- bc – ac = b2+c2- ab- bc – ac= ( b2+c2- ab– ac+ 2bc) +3bc =(-b- c)2 +=(-b- c)2 +>0 (vì abc=1 với a3 > 36 phải a >0 )Vậy : b2+c2> ab+bc+ac Điều cần chứng minh2) minh chứng rằng a) b) với đa số số thực a , b, c ta có c) Giải: a) Xét hiệu: = = HH0 ta tất cả điều phải chứng minh b) Vế trái hoàn toàn có thể viết H = H > 0 ta tất cả đpcm c) vế trái hoàn toàn có thể viết H = H 0 ta gồm điều buộc phải chứng minh* Dùng đổi khác tương đương 1) cho x > y với xy =1 .Chứng minh rằng Giải: Ta tất cả (vì xy = 1) vì vậy BĐT cần chứng tỏ tương đương cùng với BĐT cuối đúng buộc phải ta bao gồm điều bắt buộc chứng minh2) mang lại xy 1 .Chứng minh rằng Giải: Ta gồm BĐT cuối này đúng bởi vì xy > 1 .Vậy ta tất cả đpcm* dùng bất đẳng thức phụ1) mang đến a , b, c là những số thực với a + b +c =1 chứng tỏ rằng Giải: vận dụng BĐT BunhiaCôpski cho 3 số (1,1,1) cùng (a,b,c) Ta có (vì a+b+c =1 ) (đpcm) 2) đến a,b,c là các số dương . Minh chứng rằng (1)Giải: (1) vận dụng BĐT phụ cùng với x,y > 0. Ta gồm BĐT sau cùng luôn đúng Vậy (đpcm)* Dùng phương thức bắc ước 1) mang lại 0 0 .Cminh rằng: Giải: vị a ,b ,c ,d > 0 cần ta tất cả (1) (2) (3) Cộng những vế của 4 bất đẳng thức bên trên ta tất cả : (đpcm) 2) đến a ,b,c là số đo tía cạnh tam giác chứng minh rằng : Giải: vì chưng a ,b ,c là số đo bố cạnh của tam giác buộc phải ta gồm a,b,c > 0 và a 0 cùng x+y+z =1 Giải: vì x,y,z > 0 ,áp dụng BĐT Côsi ta gồm x+ y + z áp dụng bất đẳng thức Côsi mang đến x+y ; y+z ; x+z ta có Dấu bằng xảy ra khi x=y=z= Vậy S . Vậy S có mức giá trị lớn nhất là khi x=y=z= ví dụ 3: mang đến xy+yz+zx = 1. Tìm giá bán trị bé dại nhất của Giải: Áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho 6 số (x,y,z) ;(x,y,z) Ta có (1) Áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho () cùng (1,1,1)Ta bao gồm Từ (1) với (2) Vậy có mức giá trị nhỏ dại nhất là khi x=y=z= ví dụ như 4 : vào tam giác vuông gồm cùng cạnh huyền , tam giác vuông như thế nào có diện tích lớn tốt nhất Giải: điện thoại tư vấn cạnh huyền của tam giác là 2a Đường cao nằm trong cạnh huyền là h Hình chiếu những cạnh góc vuông lên cạnh huyền là x,y Ta gồm S = bởi a không đổi cơ mà x+y = 2a. Vậy S lớn nhất lúc x.y lớn nhất Vậy trong các tam giác gồm cùng cạnh huyền thì tam giác vuông cân có diện tích s lớn tuyệt nhất 2/ cần sử dụng Bất đẳng thức để giải phương trình với hệ phương trình lấy một ví dụ 1:Giải phương trình: Giải : Ta gồm Vậy vệt ( = ) xẩy ra khi x+1 = 0 x = -1 Vậy khi x = -1 Vậy phương trình tất cả nghiệm duy nhất x = -1 lấy một ví dụ 2: Giải phương trình Giải : vận dụng BĐT BunhiaCốpski ta tất cả : vết (=) xẩy ra khi x = một mặt khác lốt (=) xẩy ra khi y = - Vậy lúc x =1 với y =- Vậy nghiệm của phương trình là ví dụ như 3:Giải hệ phương trình sau: Giải: áp dụng BĐT Côsi ta có Vì x+y+z = 1) phải Dấu (=) xảy ra khi x = y = z = Vậy bao gồm nghiệm x = y = z = lấy ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau trường đoản cú phương trình (1) tốt Từ phương trình (2) trường hợp x = thì y = 2 ví như x = - thì y = -2 Vậy hệ phương trình có nghiệm cùng 3/ cần sử dụng BĐT để giải phương trình nghiệm nguyên lấy ví dụ 1: Tìm các số nguyên x,y,z thoả nguyện Giải:Vì x,y,z là các số nguyên bắt buộc (*) Mà các số x,y,z yêu cầu tìm là ví dụ 2: tìm kiếm nghiệm nguyên dương của phương trình Giải: ko mất tính tổng thể ta đưa sử Ta tất cả Mà z nguyên dương vậy z = 1. Cố gắng z = 1 vào phương trình ta được Theo đưa sử xy bắt buộc 1 = mà lại y nguyên dương bắt buộc y = 1 hoặc y = 2 cùng với y = 1 không thích phù hợp với y = 2 ta gồm x = 2 Vậy (2 ,2,1) là một nghiệm của phương trình Hoán vị những số trên ta được các nghiệm của phương trình là (2,2,1);(2,1,2); (1,2,2)Ví dụ 3:Tìm các cặp số nguyên chấp thuận phương trình (*) Giải: (*) với x 0 , y > 0 Ta có Đặt (k nguyên dương vì x nguyên dương ) Ta tất cả Nhưng mà lại giữa k và k+1 là hai số nguyên dương liên tiếp không tồn tại một vài nguyên dương như thế nào cả Nên không có cặp số nguyên dương nào mãn nguyện phương trình . Vậy phương trình gồm nghiệm độc nhất là : bài tập ý kiến đề nghị :Bài 1:Chứng minh rằng với đa số a,b,c > 0 : HD : đưa vế quy đồng mẫu đưa về tổng bình phương những đẳng thức.Bài 2:Chứng minh bất đẳng thức : HD: bài xích 3: đến a, b. C > 0 cùng a + b + c 1. Cmr : HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho bài xích 4 : mang đến . Cmr :HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi đến , rồi cộng hai vế theo vế.Bài 5: mang đến a, b >1. Search GTNN của S = HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi đến và xét trường hợp vết “=” xảy ra .Bài 9 : tìm kiếm GTLN với GTNN của y = HD: Đặt x= bài bác 10: mang đến 36xCmr : HD: Đặt : bài xích 11: Cmr : HD : Đặt x = bài xích 12: mang lại . Chứng tỏ rằng: bài xích 13: mang lại ABC bao gồm a, b, c là độ dài các cạnh. Chứng minh rằng: bài xích 14: cho . Minh chứng rằng bài bác 15: . Chứng minh rằng: bài 16: bao gồm tồn lý do cho: ?Bài 17: đến ABC có diện tích s bằng 4 (đơn vị diện tích). Trên các cạnh BC, CA, AB đem lần lược các điểm A’, B’, C’. Chứng tỏ rằng: Trong tất cả các tam giác AB’C’, A’BC’, A’B’C có ít nhất 1 diện tích nhỏ dại hơn hay bằng 1(đơn vị diện tích)