- Chọn bài bác -Bài 1: Bất đăng thức và minh chứng bất đẳng thứcLuyện tập (trang 112)Bài 2: Đại cương về bất phương trìnhBài 3: Bất phương trình cùng hệ bất phương trình bậc nhất một ẩnLuyện tập (trang 121)Bài 4: vết của nhị thức bậc nhấtLuyện tập (trang 127)Bài 5: Bất phương trình cùng hệ bất phương trình số 1 hai ẩnLuyện tập (trang 135)Bài 6: vệt của tam thức bậc haiBài 7: Bất phương trình bậc haiLuyện tập (trang 146)Bài 8: một số phương trình với bất phương trình quy về bậc haiLuyện tập (trang 154)Câu hỏi và bài bác tập ôn tập chương 4

Mục lục

Xem cục bộ tài liệu Lớp 10: tại đây

Xem toàn cục tài liệu Lớp 10: tại đây

Sách giải toán 10 bài bác 1: Bất đăng thức và chứng tỏ bất đẳng thức (Nâng Cao) khiến cho bạn giải các bài tập vào sách giáo khoa toán, học xuất sắc toán 10 để giúp bạn rèn luyện kỹ năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành kỹ năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống cùng vào những môn học tập khác:

Bài 1 (trang 109 sgk Đại Số 10 nâng cao): chứng tỏ rằng ví như a > b với ab > 0 thì 1/a

Lời giải:

Nếu a > b và ab > 0 ta suy ra b 0

Ta có : 1 : a = 1 : ( a.b) x b Bài 2 (trang 109 sgk Đại Số 10 nâng cao): chứng minh rằng nửa chu vi của tam giác to hơn mỗi cạnh của tam giác đó.

Bạn đang xem: Bất đẳng thức lớp 10 nâng cao

Lời giải:

Giả sử tam giác ABC tất cả AB = c, BC = a, AC = b. Gọi phường là nửa chu vi tam giác, ta có p. = ( a + b + c) : 2 .Ta chỉ cần chứng minh cho phường > a, các bất đẳng thức còn lại chứng minh tương tự. Thật vậy : a 0. Do trong tam giác tổng nhị cạnh bất cứ luôn lớn hơn cạnh kia bắt buộc b + c > a ⇔ b + c- a > 0 xuất xắc ( b + c – a) : 2 > 0 là bất đẳng thức đúng, suy ra p. > a là đúng.

Bài 3 (trang 109 sgk Đại Số 10 nâng cao): minh chứng rằng a2 + b2 + c2 > ab + bc + ca với tất cả các số thực a, b, c. Đẳng thức xáy ra khi còn chỉ khi a = b = c. Giải

Lời giải:

a2 + b2 + c2 > ab + bc + ca ⇔ 2a2 + 2b2 + 2c2 ≥ 2ab + 2bc + 2ca ⇔ (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 > 0 bất đẳng thức này là đúng yêu cầu bất đắng thức lúc đầu là đúng. Vệt đẳng thức xảy ra khi còn chỉ khi (a – b)2 = 0 với (b – c)2 = 0 cùng (c – a)2 = 0 ⇔ a = b = c.

Bài 4 (trang 109 sgk Đại Số 10 nâng cao): Hãy so sánh các số sau đây:

a) √(2000) + √(2005) cùng √(2002) + √(2003) (không sử dụng bảng số hoặc vật dụng tính).

b) √(a+ 2 )+ √(a+ 4) với √a+ √(a + 6) (a > 0).

Lời giải:

Ta sẽ chứng tỏ √(2000) + √(2005) 0).

Thật vậy (**) ⇔ 2a + 6 + 2 √(a + 2)( a + 4) > 2a + 6 + 2 √

⇔ √(a2 + 6a + 8) > √(a2 + 6a) ⇔ 8 > 0 bất đẳng thức này phân biệt đúng, yêu cầu (**) đúng

Bài 5 (trang 109 sgk Đại Số 10 nâng cao): chứng tỏ rằng , nếu a > 0, b > 0 thì 1/a + 1/b ≥ 4/(a + b)

Lời giải:


Với a > 0, b > 0 ta bao gồm 1/a + 1/b ≥ 4/(a + b)

⇔ (a + b)/(a.b) ≥ 4/(a + b)

⇔ (a + b)2 ≥ 4ab ⇔ (a – b)2 ≥ 0

Bất đẳng thức này phân biệt đúng ⇒ Bất đẳng thức đã cho là đúng . Vệt bằng xẩy ra khi a = b > 0

Bài 6 (trang 110 sgk Đại Số 10 nâng cao): chứng minh rằng nếu như a > 0 cùng b > 0 thì a3 + b3 > ab(a + b). Khi nào đẳng thức xảy ra?

Lời giải:

Ta tất cả a3 + b3 > ab(a + b)

⇔ (a + b)(a2 -2ab + b2) > 0

⇔ (a + b)(a – b)2 > 0.

Vì (a – b)2 ≥ 0 nên nếu a ≥ 0, b ≥ 0 thì :

(a + b)(a – b)2 ≥ 0 là bất đẳng thức đúng.

Nếu a ≥ 0 với b ≥ 0 thì (a + b)(a – b)2 = 0

⇔ a + b = 0 hoặc a – b = 0 ⇔ a = b.

Bài 7 (trang 110 sgk Đại Số 10 nâng cao): minh chứng rằng a2 + ab + b2 ≥ 0 với tất cả số thực a, b.

Lời giải:

Sử dụng đẳng thức a2 + ab + b2 = (a + 1/2.b)2 + 3/4.b2 hoặc a2 + ab + b2 = (b + 1/2.a)2 + 3/4.a2 ta dành được điều phải chứng minh

Bài 8 (trang 110 sgk Đại Số 10 nâng cao): minh chứng rằng nếu a, b cùng c là độ dài bố cạnh một tam giác thì a2 + b2 + c2

Lời giải:

Không mất tính tổng thể ta trả sử c 2 2, suy ra a2 + b2 2 + 2ab

0 2 2, suy ra b2 + c2 2 + 2bc

0 2 2, suy ra a2 + c2 2 + 2ac

Cộng vế cùng với vế của tía bất đẳng thức bên trên ta đi đến bất đẳng thức đề xuất chứng minh

Bài 9 (trang 110 sgk Đại Số 10 nâng cao): chứng tỏ rằng trường hợp a ≥ 0, b ≥ 0 thì

*

Lời giải:

Bất đẳng thức đang cho tương đương với:

a3 + ab2 + a2b + b3 ≤ 2a3 + 2b3 ⇔ a3 – ab2 – a2b + b3 > 0

⇔ (a – b)(a2 – b2) > 0 ⇔ (a – b)2(a + b) > 0.

Vì a > 0, b > 0 với (a – b)2 > 0 nên bất đẳng thức ở đầu cuối hiển nhiên đúng.

Vì vậy bất đẳng thức lúc đầu là đúng. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

Bài 10 (trang 110 sgk Đại Số 10 nâng cao): chứng tỏ rằng với nhị số a, b, tùy ý, ta có:

*

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Lời giải:

(1) | a – b|(1 + |a| + |b| + |ab|) ≤ (|a| + |ab|)(1 + |a – b| + (|b| + |ab|)(1 + |a – b|)

⇔ |a – b| + |a(a – b)| + |b(a – b)| + |ab||a – b| ≤ |b(a – b)| + 2|ab| + 2|ab||a – b| + |a(a – b)| + |b(a – b)|

⇔ |a – b| ≤ |a| + |b| + 2|ab| + |ab(a – b)| (2)

Ta có : |a – b| = |a + (-b)| ≤ |a| + |-b| = |a| + |b|

Do vậy (2) hiển nhiên đúng.

Dấu đẳng thức xảy ra ở (1) ⇔ vết đẳng thức xẩy ra ở (2)

⇔ |a – b| = |a| + |b| cùng 2|ab| + |ab( a – b)| = 0 ⇔ a = 0 hoặc b = 0

Bài 11 (trang 110 sgk Đại Số 10 nâng cao): chứng tỏ rằng :

a)Nếu a, b là nhì số cùng dấu thì a/b + b/a ≥ 2

b)Nếu a, b là nhì số trái lốt thì a/b + b/a ≤ -2

Lời giải:

a) do a, b cùng dấu bắt buộc a/b > 0, b/a > 0. Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng của nhì số ko âm không nhỏ dại hơn vừa đủ nhân của bọn họ có :

Bất đẳng thức xảy ra khi còn chỉ khi a/b = b/a ⇔ a2 = b2 ⇔ a = b (vì a, b thuộc dấu).

b)a, b trái dấu buộc phải –a, b thuộc dấu. Áp dụng câu a) ta gồm :


Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = -b ( vì chưng a, b trái dấu)

Bài 12 (trang 110 sgk Đại Số 10 nâng cao): Tìm giá trị lớn số 1 và nhỏ dại nhất của hàm số f(x) = (x + 3)(5 – x) cùng với -3 ≤ x ≤ 5

Lời giải:

Vì x ∈ <-3; 5> phải x + 3 > 0 cùng 5 – x > 0. Lúc ấy ta có:

4 = ( x + 3 + 5 – x) : 2 ≥ √<(x + 3)( 5 – x)>

⇔ 16 ≥ (x + 3)(5 –x) = f(x)

Từ bất đẳng thức bên trên suy ra f(x) lớn số 1 bằng 16 khi còn chỉ khi x + 3 = -x + 5 cùng x ∈ <-3; 5> ⇔ x = 1.

Ta có f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ <-3; 5>.

Mặt không giống f(-3) = f(5) = 0 phải giá trị bé nhất của f(x) là 0 khi và chỉ còn khi x = -3 hoặc x = 5.

Xem thêm: Bài Tập Biến Ngẫu Nhiên Rời Rạc Có Lời Giải Bài Tập), Database Error

Bài 13 (trang 110 sgk Đại Số 10 nâng cao): Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x + 2/(x – 1) cùng với x > 1.

Lời giải:


Ta viết f(x) = (x – 1) + 2/(x – 1) + 1

Vì x > 0 đề nghị x – 1 > 0, cho nên vì thế 2/(x – 1) > 0 cần

(x – 1) + 2/(x – 1) ≥ 2 √<(x – 1).2/(x – 1)> = 2 √2

⇒f(x) ≥ 2 √2 + 1 ⇒ giá bán trị nhỏ xíu nhất của f(x) là 2 √2 + 1 khi và chỉ khi x – 1 = 2/(x – 1) cùng x > 1 ⇔ x = 1 + √2