Nội dung bài học sẽ ra mắt đến những em khái niệm cơ bản về bất đẳng thức và cách thức giải một vài dạng toán cơ bạn dạng liên quan mang đến bất đẳng thức.

Bạn đang xem: Bất đẳng thức côsi lớp 10


1. Nắm tắt lý thuyết

1.1.Định nghĩa

1.2. Tính chất

1.3.Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

1.4.Bất đẳng thức thân trung bình cùng và mức độ vừa phải nhân (Bất đẳng thức Cauchy)

2. Bài xích tập minh hoạ

3.Luyện tập bài bác 1 chương 4 đại số 10

3.1. Trắc nghiệm về bất đẳng thức

3.2. Bài xích tập SGK và Nâng caovề bất đẳng thức

4.Hỏi đáp vềbài 1 chương 4 đại số 10


*

Cho (a,,,b) là nhị số thực. Những mệnh đề (a > b,,,a minh chứng bất đảng thức là minh chứng bất đẳng thức kia đúng(mệnh đề đúng)Với (A,,,B) là mệnh đề chứ đổi thay thì “(A > B)” là mệnh đề cất biến. Chứng minh bất đẳng thức (A > B) (với điều kiện nào đó) nghĩa là chứng tỏ mệnh đề chứa phát triển thành “A>B” đúng với toàn bộ các cực hiếm của biến(thỏa mãn đk đó). Lúc nói ta gồm bất đẳng thức (A > B) mà lại không nêu điều kiện so với các đổi mới thì ta hiểu đúng bản chất bất đẳng thức đó xảy ra với mọi giá trị của biến hóa là số thực.

1.2. Tính chất


* (a > b) và (b > c Rightarrow a > c)

* (a > b Leftrightarrow a + c > b + c)

* (a > b) cùng (c > d Rightarrow a + c > b + d)

* giả dụ (c > 0) thì (a > b Leftrightarrow ac > bc)

Nếu (c b Leftrightarrow ac b ge 0 Rightarrow sqrt a > sqrt b )

* (a ge b ge 0 Leftrightarrow a^2 ge b^2)

*(a > b ge 0 Rightarrow a^n > b^n)


1.3. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối


* ( - left| a ight| le a le left| a ight|) với đa số số thực (a) .

* (left| x ight| 0))

* (left| x ight| > a Leftrightarrow left< eginarraylx > a\x 0))


1.4. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Bất đẳng thức Cauchy)


a) Đối với hai số không âm

Cho (a ge 0,,,b ge m0), ta bao gồm (fraca + b2 ge sqrt ab ). Lốt "=" xảy ra khi và chỉ khi (a = b)

Hệ quả:

* nhì số dương tất cả tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bởi nhau

* nhì số dương có tích không thay đổi thì tổng nhỏ tuổi nhất khi nhì số đó bởi nhau

b) Đối với cha số không âm

Cho (a ge 0,,,b ge 0,,,c ge 0), ta bao gồm (fraca + b + c3 ge sqrt<3>abc). Dấu "=" xẩy ra khi còn chỉ khi (a = b = c)


Bài tập minh họa


DẠNG TOÁN 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍCH CHẤT CƠ BẢN

1. Cách thức giải

Để chứng minh bất đẳng thức(BĐT) (A ge B) ta rất có thể sử dụng những cách sau:

Ta đi chứng tỏ (A - B ge 0). Để minh chứng nó ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích (A - B) thành tổng hoặc tích của rất nhiều biểu thức ko âm.

Xuất vạc từ BĐT đúng, thay đổi tương đương về BĐT yêu cầu chứng minh.

2. Các ví dụ minh họa

Loại 1: đổi khác tương đương về bất đẳng thức đúng

Ví dụ 1:

Cho nhì số thực (a,b,c). Chứng tỏ rằng những bất đẳng thức sau

a) (ab le fraca^2 + b^22)

b) (ab le left( fraca + b2 ight)^2)

c) (3left( a^2 + b^2 + c^2 ight) ge left( a + b + c ight)^2)

d) (left( a + b + c ight)^2 ge 3left( ab + bc + ca ight))

Hướng dẫn:

a) Ta bao gồm (a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2 ge 0 Rightarrow a^2 + b^2 ge 2ab). Đẳng thức( Leftrightarrow a = b).

b) Bất đẳng thức tương tự với (left( fraca + b2 ight)^2 - ab ge 0)

( Leftrightarrow a^2 + 2ab + b^2 ge 4ab Leftrightarrow left( a - b ight)^2 ge 0) (đúng) ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra( Leftrightarrow a = b)

c) BĐT tương đương (3left( a^2 + b^2 + c^2 ight) ge a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca)

( Leftrightarrow left( a - b ight)^2 + left( b - c ight)^2 + left( c - a ight)^2 ge 0) (đúng) ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra( Leftrightarrow a = b = c)

d) BĐT tương tự (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca ge 3left( ab + bc + ca ight))

( Leftrightarrow 2left( a^2 + b^2 + c^2 ight) - 2left( ab + bc + ca ight) ge 0) ( Leftrightarrow left( a - b ight)^2 + left( b - c ight)^2 + left( c - a ight)^2 ge 0) (đúng) ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra( Leftrightarrow a = b = c)

Nhận xét: những BĐT trên được áp dụng nhiều, và được xem như là "bổ đề" trong chứng tỏ các bất đẳng thức khác.

Ví dụ 2:

Cho năm số thực (a,b,c,d,e). Chứng tỏ rằng

(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 ge a(b + c + d + e)).

Hướng dẫn:

Ta có: (a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 - a(b + c + d + e) = )

( = (fraca^24 - ab + b^2) + (fraca^24 - ac + c^2) + (fraca^24 - ad + d^2) + (fraca^24 - ae + e^2))

( = (fraca2 - b)^2 + (fraca2 - c)^2 + (fraca2 - d)^2 + (fraca2 - e)^2 ge 0 Rightarrow ) đpcm.

Đẳng thức xẩy ra ( Leftrightarrow b = c = d = e = fraca2).

Loại 2: xuất phát điểm từ một BĐT đúng ta biến đổi đến BĐT phải chứng minh

Đối với các loại này thường cho giải thuật không được thoải mái và tự nhiên và ta thường thực hiện khi những biến bao gồm ràng buộc đặc biệt

* chú ý hai mệnh đề sau thường dùng

(a in left< alpha ;eta ight> Rightarrow left( a - alpha ight)left( a - eta ight) le 0) (left( * ight))

(a,b,c in left< alpha ;eta ight> Rightarrow left( a - alpha ight)left( b - alpha ight)left( c - alpha ight) + left( eta - a ight)left( eta - b ight)left( eta - c ight) ge 0left( ** ight))

Ví dụ 1:

Cho a,b,c là độ dài tía cạnh tam giác. Chứng minh rằng:(a^2 + b^2 + c^2 phía dẫn:

Vì a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác đề nghị ta có:

(a + b > c Rightarrow ac + bc > c^2). Tương tự

(bc + cha > b^2; m ca + cb > c^2) cộng cha BĐT này lại với nhau ta tất cả đpcm

Nhận xét:

* Ở trong câu hỏi trên ta đã khởi nguồn từ BĐT đúng đó là đặc điểm về độ dài cha cạnh của tam giác. Tiếp nối vì cần xuất hiện bình phương nên ta nhân nhì vế của BĐT cùng với c.

Ngoài ra nếu bắt nguồn từ BĐT (|a - b| lấy ví dụ như 2:

Cho (a,b,c in <0;1>). Chứng minh: (a^2 + b^2 + c^2 le 1 + a^2b + b^2c + c^2a)

Hướng dẫn:

Cách 1:

Vì (a,b,c in <0;1> Rightarrow (1 - a^2)(1 - b^2)(1 - c^2) ge 0)

( Leftrightarrow 1 + a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 - a^2b^2c^2 ge a^2 + b^2 + c^2) (*)

Ta có: (a^2b^2c^2 ge 0; m a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 le a^2b + b^2c + c^2a) buộc phải từ (*) ta suy ra

(a^ m2 + b^2 + c^2 le 1 + a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 le 1 + a^2b + b^2c + c^2a) đpcm.

Cách 2:

BĐT cần chứng tỏ tương đương cùng với ( ma^ m2left( 1 - b ight) + b^2left( 1 - c ight) + c^2left( 1 - a ight) le 1)

Mà (a,b,c in left< 0;1 ight>) ( Rightarrow a^2 le a,b^2 le b,c^2 le c) vì đó

(a^2left( 1 - b ight) + b^2left( 1 - c ight) + c^2left( 1 - a ight) le aleft( 1 - b ight) + bleft( 1 - c ight) + cleft( 1 - a ight))

Ta chỉ việc chứng minh (aleft( 1 - b ight) + bleft( 1 - c ight) + cleft( 1 - a ight) le 1)

Thật vậy: vì (a,b,c in left< 0;1 ight>) đề nghị theo thừa nhận xét (left( ** ight)) ta có

(abc + left( 1 - a ight)left( 1 - b ight)left( 1 - c ight) ge 0)

( Leftrightarrow )(a + b + c - left( ab + bc + ca ight) le 1)

( Leftrightarrow )(aleft( 1 - b ight) + bleft( 1 - c ight) + cleft( 1 - a ight) le 1)

vậy BĐT thuở đầu được triệu chứng minh.

DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(côsi) ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRI LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT

1. Phương pháp giải

Một số chăm chú khi áp dụng bất đẳng thức côsi:

* Khi áp dụng bđt côsi thì các số phải là hầu hết số ko âm

* BĐT côsi thường được áp dụng khi trong BĐT cần minh chứng có tổng với tích

* Điều kiện xảy ra dấu ‘=’ là những số bởi nhau

* Bất đẳng thức côsi còn có hình thức khác thường xuất xắc sử dụng

Đối với nhì số:(x^2,, + ,y^2,, ge ,,2xy;,,,,,,,,x^2,, + ,y^2,, ge ,,frac(x, + ,y)^22;,,,,,,,xy le ,,left( fracx + y2 ight)^2).

Đối với ba số: (abc le fraca^3 + b^3 + c^33,,,abc le left( fraca + b + c3 ight)^3)

2. Những ví dụ minh họa

Loại 1: vận dụng trực tiếp bất đẳng thức côsi

Ví dụ 1:

Cho (a,b) là số dương thỏa mãn nhu cầu (a^2 + b^2 = 2). Chứng tỏ rằng

a) (left( fracab + fracba ight)left( fracab^2 + fracba^2 ight) ge 4)

b) (left( a + b ight)^5 ge 16absqrt left( 1 + a^2 ight)left( 1 + b^2 ight) )

Hướng dẫn:

a) Áp dụng BĐT côsi ta có

(fracab + fracba ge 2sqrt fracab.fracba = 2,,,fracab^2 + fracba^2 ge 2sqrt fracab^2.fracba^2 = frac2sqrt ab )

Suy ra (left( fracab + fracba ight)left( fracab^2 + fracba^2 ight) ge frac4sqrt ab ) (1)

Mặt khác ta gồm (2 = a^2 + b^2 ge 2sqrt a^2b^2 = 2ab Rightarrow ab le 1) (1)

Từ (1) và (2) suy ra (left( fracab + fracba ight)left( fracab^2 + fracba^2 ight) ge 4) ĐPCM.

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi (a = b = 1).

b) Ta có (left( a + b ight)^5 = left( a^2 + 2ab + b^2 ight)left( a^3 + 3ab^2 + 3a^2b + b^3 ight))

Áp dụng BĐT côsi ta có

(a^2 + 2ab + b^2 ge 2sqrt 2ableft( a^2 + b^2 ight) = 4sqrt ab ) và (left( a^3 + 3ab^2 ight) + left( 3a^2b + b^3 ight) ge 2sqrt left( a^3 + 3ab^2 ight)left( 3a^2b + b^3 ight) = 4sqrt ableft( 1 + b^2 ight)left( a^2 + 1 ight) )

Suy ra (left( a^2 + 2ab + b^2 ight)left( a^3 + 3ab^2 + 3a^2b + b^3 ight) ge 16absqrt left( a^2 + 1 ight)left( b^2 + 1 ight) )

Do kia (left( a + b ight)^5 ge 16absqrt left( 1 + a^2 ight)left( 1 + b^2 ight) ) ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (a = b = 1).

Ví dụ 2:

Cho (a,b,c) là số dương. Chứng tỏ rằng

a) (left( a + frac1b ight)left( b + frac1c ight)left( c + frac1a ight) ge 8)

b) (a^2(1 + b^2) + b^2(1 + c^2) + c^2(1 + a^2) ge 6abc)

c) ((1 + a)(1 + b)(1 + c) ge left( 1 + sqrt<3>abc ight)^3)

d) (a^2sqrt bc + b^2sqrt ac + c^2sqrt ab le a^3 + b^3 + c^3)

Hướng dẫn:

a) Áp dụng BĐT côsi ta có

(a + frac1b ge 2sqrt fracab ,,,b + frac1c ge 2sqrt fracbc ,,,c + frac1a ge 2sqrt fracca )

Suy ra (left( a + frac1b ight)left( b + frac1c ight)left( c + frac1a ight) ge 8sqrt fracab .sqrt fracbc .sqrt fracca = 8) ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra khivà chỉ khi (a = b = c).

b) Áp dụng BĐT côsi mang lại hai số dương ta có

(1 + a^2 ge 2sqrt a^2 = 2a), tương tự như ta gồm (1 + b^2 ge 2b,,,1 + c^2 ge 2c)

Suy ra (a^2(1 + b^2) + b^2(1 + c^2) + c^2(1 + a^2) ge 2left( a^2b + b^2c + c^2a ight))

Mặt khác, vận dụng BĐT côsi cho tía số dương ta có

(a^2b + b^2c + c^2a ge 3sqrt a^2b.b^2c.c^2a = 3abc)

Suy ra (a^2(1 + b^2) + b^2(1 + c^2) + c^2(1 + a^2) ge 6abc). ĐPCM.

Đẳng thức xẩy ra khivà chỉ lúc (a = b = c = 1).

c) Ta tất cả ((1 + a)(1 + b)(1 + c) = 1 + left( ab + bc + ca ight) + left( a + b + c ight) + abc)

Áp dụng BĐT côsi cho bố số dương ta có

(ab + bc + ca ge 3sqrt<3>ab.bc.ca = 3left( sqrt<3>abc ight)^2) và (a + b + c ge 3sqrt<3>abc)

Suy ra ((1 + a)(1 + b)(1 + c) ge 1 + 3left( sqrt<3>abc ight)^2 + 3sqrt<3>abc + abc = left( 1 + sqrt<3>abc ight)^3) ĐPCM

Đẳng thức xảy ra khivà chỉ khi (a = b = c).

d) Áp dụng BĐT côsi đến hai số dương ta có

(a^2sqrt bc le a^2left( fracb + c2 ight),,,,b^2sqrt ac le b^2left( fraca + c2 ight),,,c^2sqrt ab le c^2left( fraca + b2 ight))

Suy ra (a^2sqrt bc + b^2sqrt ac + c^2sqrt ab le fraca^2b + b^2a + a^2c + c^2a + b^2c + c^2b2) (1)

Mặt không giống theo BĐT côsi cho tía số dương ta có

(a^2b le fraca^3 + a^3 + b^33,,,b^2a le fracb^3 + b^3 + a^33,,,a^2c le fraca^3 + a^3 + c^33,)

(c^2a le fracc^3 + c^3 + a^33,,,b^2c le fracb^3 + b^3 + c^33,,,c^2b le fracc^3 + c^3 + b^33)

Suy ra (a^2b + b^2a + a^2c + c^2a + b^2c + c^2b le 2left( a^3 + b^3 + c^3 ight)) (2)

Từ (1) cùng (2) suy ra (a^2sqrt bc + b^2sqrt ac + c^2sqrt ab le a^3 + b^3 + c^3)

Đẳng thức xảy ra khivà chỉ khi (a = b = c).

Loại 2: kinh nghiệm tách, thêm bớt, ghép cặp

Để minh chứng BĐT ta thường xuyên phải thay đổi (nhân chia, thêm, bớt một biểu thức) để sản xuất biểu thức rất có thể giản ước được sau khi áp dụng BĐT côsi.Khi chạm chán BĐT gồm dạng (x + y + z ge a + b + c)(hoặc (xyz ge abc)), ta thường đi chứng minh (x + y ge 2a)(hoặc(ab le x^2)), xây dựng các BĐT giống như rồi cộng(hoặc nhân) vế với vế ta suy ra điều bắt buộc chứng minh.Khi bóc tách và vận dụng BĐT côsi ta phụ thuộc vào việc bảo đảm an toàn dấu bằng xảy ra(thường vệt bằng xẩy ra khi các biến đều bằng nhau hoặc trên biên).Ví dụ:

Cho (a,b,c) là số dương. Minh chứng rằng:

a) (fracabc + fracbca + fracacb ge a + b + c)

b) (fracab^2 + fracbc^2 + fracca^2 ge frac1a + frac1b + frac1c)

Hướng dẫn:

a) Áp dụng BĐT côsi ta bao gồm (fracabc + fracbca ge 2sqrt fracabc.fracbca = 2b)

Tương trường đoản cú ta gồm (fracbca + fracacb ge 2c,,,fracacb + fracbac ge 2a).

Cộng vế với vế các BĐT trên ta được

(2left( fracabc + fracbca + fracacb ight) ge 2left( a + b + c ight) Leftrightarrow fracabc + fracbca + fracacb ge a + b + c) ĐPCM

Đẳng thức xẩy ra khi (a = b = c) .

Xem thêm: Giải Bài Tập Bản Đồ Lớp 6 Bai 1, Please Wait

b) Áp dụng BĐT côsi ta bao gồm (fracab^2 + frac1a ge 2sqrt fracab^2.frac1a = frac2b)

Tương từ ta bao gồm (fracbc^2 + frac1b ge frac2c,,,fracca^2 + frac1c ge frac2a)

Cộng vế với vế những BĐT trên ta được

(fracab^2 + fracbc^2 + fracca^2 + frac1a + frac1b + frac1c ge frac2a + frac2b + frac2c Leftrightarrow fracab^2 + fracbc^2 + fracca^2 ge frac1a + frac1b + frac1c) ĐPCM.