Hướng dẫn giải bài xích §2. Giới hạn của hàm số, Chương IV. Giới hạn, sách giáo khoa Đại số cùng Giải tích 11. Nội dung bài xích giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 trang 132 133 sgk Đại số cùng Giải tích 11 bao hàm tổng thích hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập đại số với giải tích tất cả trong SGK sẽ giúp các em học viên học giỏi môn toán lớp 11.

Bạn đang xem: Bài tập toán 11 trang 132

Lý thuyết

I. số lượng giới hạn hữu hạn

Cho khoảng chừng (K) đựng điểm (x_0) với hàm số (y = f(x)) xác minh trên (K) hoặc bên trên (Kackslash m x_0 m ).

(undersetx ightarrow x__0lim f(x) = L) khi và chỉ còn khi với dãy số ((x_n)) bất kì, (x_n ∈ Kackslash m x_0 m ) cùng (x_n ightarrow x_0), ta có

(lim f(x_n) =L).

Cho hàm số (y = f(x)) khẳng định trên khoảng chừng ((x_0; b)).

(undersetx ightarrow x__0^+lim f(x) = L) khi và chỉ khi dãy số ((xn) bất kì, (x_0 a), (x_n ightarrow +infty) thì (lim f(x_n) = L).

Cho hàm số (y = f(x)) xác minh trên khoảng ((-∞; a)).

(undersetx ightarrow-infty lim f(x) = L) khi còn chỉ khi với dãy số ((x_n)) bất kì, (x_nII. Số lượng giới hạn vô cực

Sau đó là hai trong số nhiều loại số lượng giới hạn vô cực khác nhau:

Cho hàm số (y = f(x)) khẳng định trên khoảng chừng ((a; +∞)), (undersetx ightarrow+infty lim f(x) = -∞) khi và chỉ khi với dãy số ((x_n)) bất kì, (x_n> a), (x_n ightarrow +infty) thì ta có (lim f(x_n) = -∞)

Cho khoảng tầm (K) chứa điểm (x_0) và hàm số (y = f(x)) xác định trên (K) hoặc trên (Kackslash m x_0 m ).

(undersetx ightarrow x__0lim f(x) = +∞) và chỉ còn khi với dãy số ((x_n)) bất kì, (x_n ∈Kackslash m x_0 m ) với (x_n ightarrow x_0) thì ta bao gồm (lim f(x_n) = +∞).

Nhận xét: (f(x)) có giới hạn (+∞ ) khi và chỉ khi (-f(x)) có số lượng giới hạn (-∞).

III. Những giới hạn quánh biệt

a) (undersetx ightarrow x__0lim x = x_0);

b) (undersetx ightarrow x__0limc = c);

c) (undersetx ightarrow pm infty lim c = c);

d) (undersetx ightarrow pm infty lim) (fraccx = 0) ((c) là hằng số);

e) (undersetx ightarrow+infty lim x^k= +∞), với (k) nguyên dương;

f) (undersetx ightarrow-infty lim x^k= -∞), nếu (k) là số lẻ;

g) (undersetx ightarrow-infty limx^k = +∞) , nếu (k) là số chẵn.

IV. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1:

a) giả dụ (undersetx ightarrow x__0lim = L) với (undersetx ightarrow x__0lim) (g(x) = M) thì:

(undersetx ightarrow x__0lim = L + M);

(undersetx ightarrow x__0lim

(undersetx ightarrow x__0lim = L.M);

(undersetx ightarrow x__0lim) (fracf(x)g(x))= (fracLM) (nếu (M ≠ 0)).

b) ví như (f(x) ≥ 0) với (undersetx ightarrow x__0lim f(x) = L), thì (L ≥ 0) với (undersetx ightarrow x__0limsqrt f(x) = sqrt L)

Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng vào khi (x_n ightarrow +infty) hoặc (x_n ightarrow -infty).

Định lí 2.

(undersetx ightarrow x__0lim f(x) = L) khi và chỉ khi (undersetx ightarrow x__0^+lim) f(x) = (undersetx ightarrow x__0^-lim f(x) = L).

V. Quy tắc về số lượng giới hạn vô cực

a) Quy tắc giới hạn của tích (f(x).g(x))

*

b) phép tắc tìm số lượng giới hạn của thương (fracf(x)g(x))

*

(Dấu của (g(x)) xét trên một khoảng chừng (K) như thế nào đó vẫn tính giới hạn, cùng với (x ≠ x_0) ).

Dưới đấy là phần hướng dẫn vấn đáp các câu hỏi và bài tập vào phần hoạt động vui chơi của học sinh sgk Đại số với Giải tích 11.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 123 sgk Đại số và Giải tích 11

Xét hàm số:

(displaystyle f(x) = 2x^2 – 2x over x – 1)

1. Cho biến đổi x phần nhiều giá trị khác 1 lập thành dãy số xn, xn → 1 như vào bảng sau:

*

Khi đó, những giá trị khớp ứng của hàm số f(x1), f(x2),…, f(xn), …

cũng lập thành một hàng số nhưng ta kí hiệu là (f(xn)).

a) chứng tỏ rằng (fleft( x_n ight) = 2x_n = dfrac2n + 2n)

b) Tìm giới hạn của dãy số (f(xn)).

2. Chứng minh rằng với hàng số bất kì xn, xn ≠ 1 cùng xn → 1, ta luôn luôn có f(xn) → 2.

(Với tính chất thể hiện nay trong câu 2, ta nói hàm số (displaystyle f(x) = 2x^2 – 2x over x – 1) có giới hạn là 2 khi x dần dần tới 1).

Trả lời:

Ta có:

1. A) (displaystyle f(x_n) = 2x_n^2 – 2x_n over x_n – 1 = 2x_n(x_n – 1) over x_n – 1 ) (= 2x_n)

(displaystyle x_n = n+1 over n ) (displaystyle Rightarrow f(x_n) = 2x_n = 2.n+1 over n = 2n+2 over n)

b) (displaystyle mathop lim limits_n o + infty (f(x_n) – 2) ) (displaystyle = mathop lim limits_n o + infty (2n+2 over n – 2) = mathop lim limits_n o + infty 2 over n)

Ta có: (displaystyle mathop lim limits_n o + infty 2 over n = 0 ) (displaystyle Rightarrow mathop lim limits_n o + infty (f(x_n) – 2) = 0 ) (displaystyle Rightarrow mathop lim limits_n o + infty f(x_n) = 2)

2. (lim f(x_n) = lim,2x_n ) (= 2lim x_n = 2.1 = 2)

2. Trả lời thắc mắc 2 trang 127 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Trong biểu thức (1) khẳng định hàm số $y = f(x)$ làm việc Ví dụ 4, buộc phải thay $2$ thông qua số nào để hàm số có số lượng giới hạn là $-2$ khi $x → 1$?

Trả lời:

Để hàm số có số lượng giới hạn bằng ( – 2) trên (x = 1) thì (mathop lim limits_x o 1^ + fleft( x ight) = mathop lim limits_x o 1^ – fleft( x ight) = – 2) hay (5.1 + c = – 2 Leftrightarrow c = – 7).

Vậy đề nghị thay (2) bằng ( – 7) để hàm số có giới hạn bằng ( – 2) tại (x = 1).

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 127 sgk Đại số với Giải tích 11

Cho hàm số $f(x) = 1 over x – 2$ bao gồm đồ thị như làm việc Hình 52

*

Quan liền kề đồ thị và đến biết:

– Khi phát triển thành $x$ dần tới dương vô cực, thì f(x) dần tới quý giá nào.

– Khi biến $x$ dần tới âm vô cực, thì f(x) dần dần tới quý giá nào.

Trả lời:

– Khi thay đổi $x$ dần dần tới dương vô cực, thì $f(x)$ dần tới giá trị dương vô cực

– Khi biến chuyển $x$ dần tới âm vô cực, thì $f(x)$ dần dần tới quý giá âm vô cực

Dưới đó là phần giải đáp giải bài xích 1 2 3 4 5 6 7 trang 132 133 sgk Đại số cùng Giải tích 11. Các bạn hãy hiểu kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

circologiannibrera.com giới thiệu với chúng ta đầy đủ phương pháp giải bài xích tập đại số cùng giải tích 11 kèm bài bác giải đưa ra tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 132 133 sgk Đại số với Giải tích 11 của bài bác §2. Giới hạn của hàm số vào Chương IV. Giới hạn cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài bác tập chúng ta xem bên dưới đây:

*
Giải bài xích 1 2 3 4 5 6 7 trang 132 133 sgk Đại số cùng Giải tích 11

1. Giải bài bác 1 trang 132 sgk Đại số với Giải tích 11

Dùng tư tưởng tìm những giới hạn sau:

a) (undersetx ightarrow 4limfracx+13x – 2);

b) (undersetx ightarrow +infty limfrac2-5x^2x^2+3).

Bài giải:

a) Hàm số (f(x) = fracx +13x – 2) xác minh trên (mathbb Rackslash left 2 over 3 ight\) với ta có (x = 4 in left( 2 over 3; + infty ight))

Giả sử ((x_n)) là hàng số bất kì và (x_n ∈ left( 2 over 3; + infty ight)); (x_n≠ 4) với (x_n→ 4) khi (n o + infty ).

Ta có (lim f(x_n) = lim fracx_n +13x_n – 2 = frac4 + 13. 4 – 2 = frac12).

Vậy (undersetx ightarrow 4lim) (fracx +13x – 2) = (frac12).

b) Hàm số (f(x)) = (frac2-5x^2x^2+3) xác định trên (mathbb R).

Giả sử ((x_n)) là hàng số bất cứ và (x_n→ +∞) khi (n o + infty )

Ta gồm (lim f(x_n) = lim frac2-5x^2_nx^2_n+3= lim fracfrac2x^2_n-51+frac3x^2_n = -5).

Vậy (undersetx ightarrow +infty lim) (frac2-5x^2x^2+3 = -5).

2. Giải bài xích 2 trang 132 sgk Đại số và Giải tích 11

Cho hàm số

(f(x) = left{ matrix{sqrt x + 1 ext nếu xge 0 hfill cr2x ext giả dụ x 0) với (v_n= -frac1n (x → 0).

3. Giải bài 3 trang 132 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Tính các giới hạn sau:

a) (undersetx ightarrow -3lim) (fracx^2 -1x+1);

b) (undersetx ightarrow -2lim) (frac4-x^2x + 2);

c) (undersetx ightarrow 6lim) (fracsqrtx + 3-3x-6);

d) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac2x-64-x);

e) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac17x^2+1);

f) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac-2x^2+x -13 +x).

Bài giải:

a) (undersetx ightarrow -3lim) (fracx^2 -1x+1) = (frac(-3)^2-1-3 +1 = -4).

b) (undersetx ightarrow -2lim) (frac4-x^2x + 2)

= (undersetx ightarrow -2lim) (frac (2-x)(2+x)x + 2)

= (undersetx ightarrow -2lim (2-x) = 4).

c) (undersetx ightarrow 6lim) (fracsqrtx + 3-3x-6)

= (undersetx ightarrow 6lim) (frac(sqrtx + 3-3)(sqrtx + 3+3 )(x-6) (sqrtx + 3+3 ))

= (undersetx ightarrow 6lim) (fracx +3-9(x-6) (sqrtx + 3+3 ))

= (undersetx ightarrow 6lim) (frac1sqrtx+3+3) = (frac16).

d) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac2x-64-x)

= (undersetx ightarrow +infty lim) (frac2-frac6xfrac4x-1 = -2).

e) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac17x^2+1 = 0)

vì (undersetx ightarrow +infty lim) ((x^2+ 1) =) (undersetx ightarrow +infty lim x^2( 1 + frac1x^2) = +∞).

f) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac-2x^2+x -13 +x)

= (undersetx ightarrow +infty lim) (frac-2+frac1x -frac1x^2frac3x^2 +frac1x = -∞),

vì (frac3x^2+frac1x > 0) với (∀x>0).

4. Giải bài 4 trang 132 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Tìm những giới hạn sau:

a) (undersetx ightarrow 2lim) (frac3x -5(x-2)^2);

b) (undersetx ightarrow 1^-lim) (frac2x -7x-1);

c) (undersetx ightarrow 1^+lim) (frac2x -7x-1).

Bài giải:

a) Ta bao gồm (undersetx ightarrow 2lim (x – 2)^2= 0) cùng ((x – 2)^2> 0) cùng với (∀x ≠ 2) với (undersetx ightarrow 2lim (3x – 5) = 3.2 – 5 = 1 > 0).

Do kia (undersetx ightarrow 2lim) (frac3x -5(x-2)^2 = +∞).

b) Ta gồm (undersetx ightarrow 1^-lim (x – 1)=0) cùng (x – 1 0) cùng với (∀x > 1) cùng (undersetx ightarrow 1^+lim (2x – 7) = 2.1 – 7 = -5

5. Giải bài xích 5 trang 133 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Cho hàm số (f(x) = fracx+2x^2-9) tất cả đồ thị như trên hình 53.

*

a) Quan tiếp giáp đồ thị với nêu nhận xét về quý hiếm hàm số đã đến khi (x → -∞), (x → 3^-) cùng (x → -3^+)

b) Kiểm tra các nhận xét trên bằng cách tính những giới hạn sau:

(undersetx ightarrow -infty lim f(x)) cùng với (f(x)) được xét trên khoảng chừng ((-infty; -3)),

(undersetx ightarrow 3^-lim f(x)) với (f(x)) được xét trên khoảng chừng ((-3,3)),

(undersetx ightarrow -3^+lim f(x)) với (f(x)) được xét trên khoảng chừng ((-3; 3)).

Bài giải:

a) Quan gần kề đồ thị ta thấy:

Khi (x → -∞) thì (f(x) → 0);

Khi (x → 3^-) thì (f(x) → -∞);

Khi (x → -3^+) thì (f(x) → +∞).

b) Ta có:

(undersetx ightarrow -infty lim f(x) = undersetx ightarrow -infty lim) (fracx+2x^2-9) = (undersetx ightarrow -infty lim) (fracfrac1x+frac2x^21-frac9x^2 = 0).

(undersetx ightarrow 3^-lim f(x) = undersetx ightarrow 3^-lim)(fracx+2x^2-9) = (undersetx ightarrow 3^-lim)(fracx+2x+3.frac1x-3 = -∞ ) vì chưng (undersetx ightarrow 3^-lim)(fracx+2x+3) = (frac56 > 0) và (undersetx ightarrow 3^-lim frac1x-3 = -∞).

(undersetx ightarrow -3^+lim f(x) =) (undersetx ightarrow -3^+lim) (fracx+2x^2-9) = (undersetx ightarrow -3^+lim) (fracx+2x-3) . (frac1x+3 = +∞)vì (undersetx ightarrow -3^+lim) (fracx+2x-3) = (frac-1-6) = (frac16 > 0) với (undersetx ightarrow -3^+lim) (frac1x+3 = +∞).

6. Giải bài 6 trang 133 sgk Đại số và Giải tích 11

Tính:

(eqalign& a)mathop lim limits_x o + infty (x^4 – x^2 + x – 1) cr& b)mathop lim limits_x o – infty ( – 2x^3 + 3x^2 – 5) cr& c)mathop lim limits_x o – infty (sqrt x^2 – 2x + 5) cr& d)mathop lim limits_x o + infty sqrt x^2 + 1 + x over 5 – 2x cr )

Bài giải:

Ta có:

(eqalignsqrt 1 – 2 over x + 5 over x^2 = + infty cr& d)mathop lim limits_x o + infty sqrt x^2 + 1 + x over 5 – 2x = mathop lim limits_x o + infty xleft( sqrt 1 + 1 over x^2 + 1 ight) over 5 – 2x = mathop lim limits_x o + infty left( sqrt 1 + 1 over x^2 + 1 ight) over 5 over x – 2 = – 1 cr )

7. Giải bài xích 7 trang 133 sgk Đại số và Giải tích 11

Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là (f). Call (d) và (d’) lần lượt là khoảng cách từ một trang bị thật (AB) cùng từ hình ảnh (A’B’) của nó tới quang trọng điểm (O) của thấu kính (h.54). Cách làm thấu kính là (frac1d+frac1d’=frac1f.)

*

a) tìm kiếm biểu thức khẳng định hàm số (d’ = φ(d)).

b) tra cứu (undersetd ightarrow f^+ lim φ(d)), (undersetd ightarrow f^- lim φ(d)) và (undersetd ightarrow +infty lim φ(d)). Giải thích ý nghĩa sâu sắc của các tác dụng tìm được.

Bài giải:

a) từ hệ thức (frac1d+frac1d’=frac1f.) Suy ra (d’ = φ(d) = fracfdd-f).

b) (undersetd ightarrow f^+ lim φ(d) = undersetd ightarrow f^+ lim) (fracfdd-f= +∞) .

Ý nghĩa: Nếu thứ thật AB tiến dần về tiêu điểm F thế nào cho d luôn to hơn f thì hình ảnh của nó dần tới dương vô cực.

(undersetd ightarrow f^- limφ(d) =) (undersetd ightarrow f^- lim) (fracfdd-f = -∞).

Ý nghĩa: Nếu thiết bị thật AB tiến dần về tiêu điểm F làm thế nào cho d luôn nhỏ dại hơn f thì hình ảnh của nó dần tới âm vô sực.

(undersetd ightarrow +infty lim φ(d) =) (undersetd ightarrow +infty lim) (fracfdd-f) = (undersetd ightarrow +infty lim) (fracf1-fracfd = f).

Xem thêm: Si Là Gì Trong Xuất Nhập Khẩu Là Gì? Hướng Dẫn Cách Lập Si Si Trong Xuất Nhập Khẩu Là Gì

Ý nghĩa: Nếu thiết bị thật AB sống xa vô cực so với thấu kính thì ảnh của nó sinh sống ngay bên trên tiêu diện ảnh (mặt phẳng qua tiêu điểm hình ảnh F’ cùng vuông góc cùng với trục chính).

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc chúng ta làm bài tốt cùng giải bài xích tập sgk toán lớp 11 với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 132 133 sgk Đại số và Giải tích 11!