A. LÝ THUYẾT

1. Hình thang

Định nghĩa: Hình thang là tứ giác gồm hai cạnh đối tuy vậy song.

Bạn đang xem: Bài tập hình thang lớp 8

Hình thang ABCD: AB // CD

Cạnh đáy: AB, CD

Cạnh bên: AD, BC

Đường cao: AH

Tính chất: trong một hình thang, góc kề một cạnh bên thì bù nhau.

Nhận xét:

+ Nếu một hình thang gồm hai cạnh bên song song thì nhì cạnh bên bằng nhau, nhì cạnh đáy bằng nhau.

+ Nếu một hình thang gồm hai cạnh đáy bằng nhau thì nhì cạnh bên tuy nhiên song cùng bằng nhau

2. Hình thang vuông

Định nghĩa: Hình thang vuông là hình thang gồm một cạnh bên vuông góc với nhì đáy.

3. Dấu hiệu nhận biết hình thang, hình thang vuông

+ Một tứ giác tất cả hai cạnh song song là hình thang.

+ Hình thang bao gồm một góc vuông là hình thang vuông.

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng 1: Tính những góc của một hình thang

Bài 1: cho hình thang ABCD có (AB//CD) có$ displaystyle widehatA-widehatD=20^0$ với $ displaystyle widehatB=2widehatC$ . Tính các góc của hình thang?

Hướng dẫn giải:

*
ABCD là hình thang, AB//CD

+ $ displaystyle widehatA+widehatD=180^0$(Hai góc kề cạnh bên bù nhau)và $ displaystyle widehatA-widehatD=20^0$. Suy ra: $ displaystyle widehatA=100^0$ cùng $ displaystyle widehatD=80^0$

Mặt khác: $ displaystyle widehatB+widehatC=180^0$ (Hai góc kề cạnh bên bù nhau); $ displaystyle widehatB=2widehatC$

Suy ra: $ displaystyle widehatC=60^0$ và $ displaystyle widehatB=120^0$.

Bài 2: mang đến hình thang ABCD (AB//CD). Tính số đo những góc chưa biết.

Hướng dẫn giải:

*
ABCD hình thang, AB//CD

$ displaystyle eginarraylwidehatA+widehatD=180^0-widehatA\widehatD=180^0-130^0=50^0\widehatB+widehatC=180^0Rightarrow widehatB=180^0-widehatC\widehatB=180^0-70^0=110^0endarray$

2. Dạng 2: Chứng minh một tứ giác là hình thang, hình thang vuông

Bài 3: mang đến tứ giác ABCD, AB=BC và AC là tia phân giác của góc A. Chứng minh ABCD là hình thang.

Hướng dẫn giải:

Xét $ displaystyle Delta ABC:AB=BC$ (giả thuyết). Suy ra: $ displaystyle Delta ABC$ cân nặng tại B

Từ đây suy ra: $ displaystyle widehatBAC=widehatBCA$

$ displaystyle widehatBAC=widehatCAD$ (AD phân giác ).

*
Suy ra: $ displaystyle widehatBCA=widehatCAD$

Suy ra: $ displaystyle BC//AD$

Vậy tứ giác ABCD là hình thang.

Bài 4: đến tam giác ABC vuông tại A, lấy điểm M thuộc cạnh BC làm sao cho $ displaystyle AM=frac12BC$, N là trung điểm cạnh AB. Chứng minh:

a. $ displaystyle Delta AMB$ cân

b. Tứ giác $ displaystyle MNAC$ là hình thang vuông.

Hướng dẫn giải:

a. Chứng minh $ displaystyle Delta AMB$ cân:

*
Ta bao gồm $ displaystyle AM=frac12BC$. M thuộc cạnh BC.

Suy ra: M là trung điểm của cạnh BC.

$ displaystyle Rightarrow AM=MB=MC=fracBC2$

Suy ra: $ displaystyle Delta AMB$ cân tại M

b. Chứng minh tứ giác $ displaystyle MNAC$là hình thang vuông:Trong $ displaystyle Delta AMB$ : AN = NB (giả thiết)

Suy ra: $ displaystyle MNot AB$

$ displaystyle ACot AB$ ($ displaystyle Delta ABC$ vuông tại A)

$ displaystyle Rightarrow MN//AC$ và $ displaystyle widehatCAN=90^0$

Suy ra: tứ giác $ displaystyle MNAC$ là hình thang vuông.

Bài 5: đến tứ giác ABCD và EFGH bên trên giấy kẻ ô vuông (hình vẽ). Quan gần kề rồi đoán nhận xem các tứ giác đó là hình gì, sau đó cần sử dụng thước cùng eke để kiểm tra lại dự đoán đó.

*

Hướng dẫn giải:

Tứ giác ABCD là hình thang ( bởi BC // AD).

Tứ giác EFGH là hình thang vuông ($ displaystyle widehatH extEF=90^0$và $ displaystyle widehatG extEF=90^0$).

Bài 6: cho hình thang ABCD (AB // CD), các tia phân giác của góc A, góc D cắt nhau tại M thuộc cạnh BC. Mang đến biết AD = 7cm, chứng minh rằng một trong nhị đáy của hình thang có độ nhiều năm nhỏ hơn 4cm.

Hướng dẫn giải:

* Tìm giải pháp giải : Để chứng minh một cạnh đáy làm sao đó nhỏ hơn 4cm ta có thể xét tổng của nhị cạnh đáy rồi chứng minh tổng này nhỏ hơn 8cm. Lúc đó tồn tại một đáy tất cả độ nhiều năm nhỏ hơn 4cm.

* trình diễn lời giải:

Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC.

Ta gồm AB // CD đề nghị $ displaystyle widehatA_2=widehatN$ (so le trong).

Mặt khác, $ displaystyle widehatA_1=widehatA_2$ phải $ displaystyle widehatA_1=widehatN$ Þ DDAN cân nặng tại D .

Vì vậy: domain authority = DN. (1)

*
Xét DDAN gồm $ displaystyle widehatD_1=widehatD_2$

Nên DM đồng thời là đường trung tuyến: MA = MN.

Nên: DABM = DNCM (g.c.g)

Do đó: AB = CN.

Ta có: DC + AB = DC + công nhân = doanh nghiệp = domain authority = 7cm. Vậy AB + CD bài xích 7: Dựng hình thang ABCD (AB // CD) biết: AB = 2cm, CD = 5cm, $ displaystyle widehatC=40^o;$ $ displaystyle widehatD=70^o.$

Hướng dẫn giải

a. Phân tích: Giả sử ta đã dựng được hình thang ABCD thoả mãn đề bài.

*
Vẽ AE // BC (E ∈ CD).

Ta được: $ displaystyle widehatAED=widehatC=40^o,$ EC = AB = 2cm và DE = DC – EC = 5 – 2 = 3cm.

– DADE dựng được tức thì (g.c.g).

– Điểm C thoả mãn nhị điều kiện:C nằm bên trên tia DE với C cách D là 5cm.

– Điểm B thoả mãn nhị điều kiện: B nằm bên trên tia Ax // DE (hai tia Ax cùng DE cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ AD) và B cách A là 2cm.

b. Biện pháp dựng:– Dựng ΔADE làm sao cho DE = 3cm; $ displaystyle widehatD=70^o;$ $ displaystyle widehatE=40^o.$

– Dựng tia Ax // DE (hai tia Ax với DE cùng nằm bên trên một nửa mặt phẳng bờ AD).

– bên trên tia Ax đặt AB = 2cm.

– trên tia DE đặt DC = 5cm.

– Nối BC ta được hình thang ABCD phải dựng.

c. Chứng minh:Theo cách dựng tứ giác ABCD có AB // CD vì thế nó là hình thang.

Xét hình thang ABCE có CE = 5 – 3 = 2(cm);

AB = 2cm cần AB = CE vày đó AE // BC $ displaystyle Rightarrow widehatBCD=widehatAED=40^o.$

Như vậy hình thang ABCD có AB = 2cm; CD = 5cm; $ displaystyle widehatD=70^o$ cùng $ displaystyle widehatC=40^o.$

d. Biện luận: việc có một nghiệm hình.

Bài 8: Dựng tam giác ABC, biết $ displaystyle widehatA=70^o,$ BC = 5cm và AC – AB = 2cm.

Hướng dẫn giải

a) Phân tích: Giả sử ta đã dựng được tam giác ABC thoả mãn đề bài.Trên tia AC ta lấy điểm D làm thế nào cho AD = AB.

Khi đó DC = AC – AD = AC – AB = 2cm.

ΔABD cân, $ displaystyle widehatA=70^o$ $ displaystyle Rightarrow widehatADB=55^o$ $ displaystyle Rightarrow widehatBDC=125^o.$

– ΔDBC xác định được (CD = 2cm; $ displaystyle widehatD=125^o;$ CB = 5cm).

– Điểm A thoả mãn nhị điều kiện:

A nằm bên trên tia CD với A nằm bên trên đường trung trực của BD.

b) bí quyết dựng

– Dựng ΔDBC sao để cho $ displaystyle widehatD=125^o;$ DC = 2cm và CB = 5cm.

– Dựng đường trung trực của BD cắt tia CD tại A.

– Nối AB ta được DABC phải dựng.

c) Chứng minh

*
Ta có: ΔABC thoả mãn đề bài xích vì theo phong cách dựng, điểm A nằm trên đường trung trực của BD nên AD = AB.

Do đó AC – AB = AC – AD = DC = 2cm;BC = 5cm với $ displaystyle widehatADB=180^o-125^o=55^o$

$ displaystyle Rightarrow widehatBAC=180^o-2.55^o=70^o.$

d) Biện luận : câu hỏi có một nghiệm hình.

Nhận xét: Đề bài xích có đến đoạn thẳng 2cm nhưng trên hình vẽ chưa có đoạn thẳng làm sao như vậy. Ta đã có tác dụng xuất hiện đoạn thẳng DC = 2cm bằng biện pháp trên AC ta đặt AD = AB. Lúc đó DC chính là hiệu AC – AB.

*
Cũng gồm thể làm xuất hiện đoạn thẳng 2cm bằng biện pháp trên tia AB ta đặt AE = AC

Khi đó BE = AE – AB = AC – AB = 2cm.

DAEC cân, có $ displaystyle widehatA=70^o$

$ displaystyle Rightarrow widehatE=left( 180^o-70^o ight):2=55^o.$

DBEC xác định được.

Khi đó điểm A thoả mãn nhì điều kiện:

A nằm bên trên tia EB cùng A nằm trên đường trung trực của EC.

Xem thêm: Giải Bài Tập Tích Của Vecto Với Một Số, Hình Học 10 Bài 3: Tích Của Vectơ Với Một Số

C. BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài 1: mang đến hình thang ABCD (AB//CD), ABBài 7: Chứng minh rằng vào một hình thang vuông, hiệu những bình phương của nhị đường chéo bằng hiệu các bình phương của nhì đáy.