Ôn tập lại lý thuyết và hướng dẫn cách giải các dạng toán về hệ thức lượng vào tam giác làm việc lớp 10 qua các ví dụ có lời giải chi tiết.

Bạn đang xem: Bài tập hệ thức lượng trong tam giác lớp 10

Chúng ta đề xuất nhớ các công thức cùng định lý trước khi áp dụng vào giải bài tập.


A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định lí côsin

Trong tam giác $ABC$ với $BC = a$, $AC = b$ và $AB = c.$ Ta có: $a^2 = b^2 + c^2 – 2bc.cos A.$ $b^2 = c^2 + a^2 – 2ca.cos B.$ $c^2 = a^2 + b^2 – 2ab.cos C.$

*
*
*
*
*
*
*
*

Áp dụng công thức đường trung tuyến đường với tam giác $ABC$ với $ADC$ ta có: $AB^2 + BC^2 = 2BE^2 + fracAC^22$ $(1).$ $CD^2 + DA^2 = 2DE^2 + fracAC^22$ $(2).$ từ bỏ $(1)$ cùng $(2)$ suy ra: $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2$ $ = 2left( BE^2 + DE^2 ight) + AC^2.$ mặt khác $EF$ là đường trung tuyến đường tam giác $BDF$ nên: $BE^2 + DE^2 = 2EF^2 + fracBD^22.$ Suy ra $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2$ $ = AC^2 + BD^2 + 4EF^2.$

3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP bài xích 1: chứng tỏ rằng trong phần đa tam giác $ABC$ ta có: a) $a = b.cos C + c.cos B.$ b) $sin A = sin Bcos C + sin Ccos B.$ c) $h_a = 2Rsin Bsin C.$ d) $m_a^2 + m_b^2 + m_c^2$ $ = frac34left( a^2 + b^2 + c^2 ight).$ e) $S_Delta ABC = frac12sqrt AB^2.AC^2 – (overrightarrow AB .overrightarrow AC )^2 .$

a) Áp dụng định lí côsin ta có: $VP = b.fraca^2 + b^2 – c^22ab$ $ + c.fracc^2 + a^2 – b^22ca$ $ = fraca^2 + b^2 – c^2 + c^2 + a^2 – b^22a$ $ = a = VT.$ b) $sin A = sin Bcos C + sin Ccos B$ $ Leftrightarrow fraca2R = fracb2R.cos C + fracc2R.cos B$ $ Leftrightarrow a = bcos C + ccos B$ (câu a). C) $h_a = 2Rsin Bsin C$ $ Leftrightarrow frac2Sa = 2Rfracb2Rsin C$ $ Leftrightarrow S = frac12absin C$ (đúng). D) Áp dụng phương pháp đường trung tuyến. E) $sqrt AB^2.AC^2 – (overrightarrow AB. overrightarrow AC )^2 $ $ = AB.ACsqrt 1 – cos ^2A $ $ = AB.AC.sin A.$ Từ kia suy ra điều bắt buộc chứng minh.

Bài 2: cho tam giác $ABC.$ chứng minh rằng: a) $b + c = 2a$ $ Leftrightarrow frac2h_a = frac1h_b + frac1h_c.$ b) Góc $A$ vuông $ Leftrightarrow m_b^2 + m_c^2 = 5m_a^2.$

a) $b + c = 2a$ $ Leftrightarrow frac2Sh_b + frac2Sh_c = 2.frac2Sh_a$ $ Leftrightarrow frac1h_b + frac1h_c = frac2h_a.$ b) $m_b^2 + m_c^2 = 5m_a^2$ $ Leftrightarrow frac2left( a^2 + c^2 ight) – b^24$ $ + frac2left( a^2 + b^2 ight) – c^24$ $ = 5.frac2left( b^2 + c^2 ight) – a^24.$ $ Leftrightarrow b^2 + c^2 = a^2$ $ Leftrightarrow $ góc $A$ vuông.

Bài 3: đến tam giác $ABC$ thỏa mãn $a^4 = b^4 + c^4.$ minh chứng rằng: a) Tam giác $ABC$ nhọn. B) $2sin ^2A = an B an C.$

a) dễ thấy $a > b$, $a > c$ $ Rightarrow $ góc $A$ là phệ nhất. Với $a^4 = b^4 + c^4 ngoài ra theo định lí côsin ta có: $cos A = fracb^2 + c^2 – a^22bc$ $ Rightarrow cos A > 0.$ vì thế $widehat A b) $2sin ^2A = an B an C$ $ Leftrightarrow 2sin ^2Acos Bcos C = sin Bsin C.$ $ Leftrightarrow 2left( fraca2R ight)^2.fraca^2 + c^2 – b^22ac.fraca^2 + b^2 – c^22ab$ $ = fracb2R.fracc2R$ $ Leftrightarrow a^4 = b^4 + c^4.$

Bài 4: call $S$ là diện tích s tam giác $ABC.$ minh chứng rằng: a) $S = 2R^2sin Asin Bsin C.$ b) $S = Rr(sin A + sin B + sin C).$

a) Ta gồm $S = fracabc4R$ $ = frac2Rsin A.2Rsin B.2Rsin C4R$ $ = 2R^2sin Asin Bsin C.$ b) $S = pr$ $ = fraca + b + c2r$ $ = frac2Rsin A + 2Rsin B + 2Rsin C2r.$

Bài 5: mang lại tứ giác lồi $ABCD$, điện thoại tư vấn $alpha $ là góc hợp do hai đường chéo $AC$ với $BD.$ minh chứng diện tích $S$ của tứ giác cho bởi vì công thức: $S = frac12AC.BD.sin alpha .$

Gọi $I$ là giao điểm hai tuyến đường chéo. Lúc đó: $S = S_ABI + S_BC1 + S_CDI + S_DAI.$ $ = frac12AI.BI.sin widehat AIB$ $ + frac12BI.CI.sin widehat BIC$ $ + frac12CI.DI.sin widehat CID$ $ + frac12DI.AI.sin widehat DIA.$ Ta có những góc $widehat AIB$, $widehat BIC$, $widehat CID$ và $widehat DIA$ song một bù nhau suy ra: $sin widehat AIB = sin widehat BIC$ $ = sin widehat CID = sin widehat DIA$ $ = sin alpha .$ vì thế $S = frac12BI.AC.sin alpha $ $ + frac12ID.AC.sin alpha $ $ = frac12AC.BD.sin alpha .$

DẠNG TOÁN 4: NHẬN DẠNG TAM GIÁC

1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Sử dụng định lí côsin, định lí sin, phương pháp đường trung tuyến, cách làm tính diện tích tam giác để biến hóa giả thiết về hệ thức tương tác cạnh (hoặc góc) từ kia suy ra dạng của tam giác.

2. CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: mang lại tam giác $ABC$ hài lòng $sin C = 2sin Bcos A.$ minh chứng rằng tam giác $ABC$ cân.

Áp dụng định lí côsin cùng sin ta có: $sin C = 2sin Bcos A$ $ Leftrightarrow fracc2R = 2.fracb2R.fracb^2 + c^2 – a^22bc.$ Suy ra tam giác $ABC$ cân tại đỉnh $C.$

Ví dụ 2: mang lại tam giác $ABC$ thoả nguyện $sin A = fracsin B + sin Ccos B + cos C.$ minh chứng rằng tam giác $ABC$ vuông.

Xem thêm: Nền Kinh Tế Chia Sẻ Là Gì ? Các Chỉ Trích Về Kinh Thời Kinh Tế Chia Sẻ

Ta có: $sin A = fracsin B + sin Ccos B + cos C$ $ Leftrightarrow sin A(cos B + cos C)$ $ = sin B + sin C.$ $ Leftrightarrow fraca2Rleft( fracc^2 + a^2 – b^22ca + fraca^2 + b^2 – c^22ab ight)$ $ = fracb + c2R.$ $ Leftrightarrow bleft( c^2 + a^2 – b^2 ight) + cleft( a^2 + b^2 – c^2 ight)$ $ = 2b^2c + 2c^2b.$ $ Leftrightarrow b^3 + c^3 + b^2c + bc^2 – a^2b – a^2c = 0$ $ Leftrightarrow (b + c)left( b^2 + c^2 ight) – a^2(b + c) = 0.$ $b^2 + c^2 = a^2$ $ Leftrightarrow Delta ABC$ vuông tại $A.$

Ví dụ 3: dìm dạng tam giác $ABC$ trong những trường đúng theo sau: a) $asin A + bsin B + csin C$ $ = h_a + h_b + h_c.$ b) $fraccos ^2A + cos ^2Bsin ^2A + sin ^2B$ $ = frac12left( cot ^2A + cot ^2B ight).$

a) Áp dụng công thức diện tích ta bao gồm $S = frac12bcsin A = frac12ah_a$ suy ra: $asin A + bsin B + csin C$ $ = h_a + h_b + h_c$ $ Leftrightarrow a.frac2Sbc + b.frac2Sca + c.frac2Sab$ $ = frac2Sa + frac2Sb + frac2Sc.$ $ Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$ $ Leftrightarrow (a – b)^2 + (b – c)^2 + (c – a)^2 = 0.$ $ Leftrightarrow a = b = c.$ Vậy tam giác $ABC$ đều. B) Ta có: $fraccos ^2A + cos ^2Bsin ^2A + sin ^2B$ $ = frac12left( cot ^2A + cot ^2B ight).$ $ Leftrightarrow fraccos ^2A + cos ^2B + sin ^2A + sin ^2Bsin ^2A + sin ^2B$ $ = frac12left( cot ^2A + 1 + cot ^2B + 1 ight).$ $ Leftrightarrow frac2sin ^2A + sin ^2B$ $ = frac12left( frac1sin ^2A + frac1sin ^2B ight)$ $ Leftrightarrow left( sin ^2A + sin ^2B ight)^2$ $ = 4sin ^2Asin ^2B.$ $ Leftrightarrow sin ^2A = sin ^2B$ $ Leftrightarrow left( fraca2R ight)^2 = left( fracb2R ight)^2$ $ Leftrightarrow a = b$ $ Leftrightarrow Delta ABC$ cân trên $C.$

3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP bài bác 1: mang lại tam giác $ABC.$ chứng tỏ tam giác $ABC$ cân nặng nếu $h_a = csin A.$

Sử dụng bí quyết $S = frac12ah_a = frac12bcsin A$ ta có: $h_a = csin A$$ Leftrightarrow bh_a = ah_a$ $ Leftrightarrow a = b$ suy ra tam giác $ABC$ cân nặng tại $C.$

Bài 2: cho tam giác $ABC.$ chứng tỏ tam giác $ABC$ cân nếu $4m_a^2 = b(b + 4ccos A).$

Sử dụng phương pháp đường trung con đường và định lí sin. $4m_a^2 = b(b + 4ccos A)$ $ Leftrightarrow 4frac2left( b^2 + c^2 ight) – a^24$ $ = bleft( b + 4c.fracb^2 + c^2 – a^22bc ight)$ $ Leftrightarrow a = b.$

Bài 3: minh chứng rằng tam giác $ABC$ rất nhiều khi và chỉ còn khi: $a^2 + b^2 + c^2 = 36r^2.$

Ta có: $r^2 = fracS^2p^2$ $ = frac(p – a)(p – b)(p – c)p.$ Theo Cauchy: $(p – a)(p – b)(p – c)$ $ le left( frac3p – a – b – c3 ight)^3$ $ = left( fracp3 ight)^3.$ Suy ra $36r^2 le frac4p^33p$ $ = frac(a + b + c)^23$ $ le a^2 + b^2 + c^2.$ vệt bằng xẩy ra khi còn chỉ khi $a = b = c$ tuyệt tam giác $ABC$ đều.

Bài 4: cho tam giác $ABC.$ kiếm tìm góc $A$ vào tam giác biết những cạnh $a$, $b$, $c$ vừa ý hệ thức: $bleft( b^2 – a^2 ight) = cleft( c^2 – a^2 ight)$ $(b e c).$

$bleft( b^2 – a^2 ight) = cleft( c^2 – a^2 ight)$ $ Leftrightarrow b^3 – c^3 = a^2(b – c)$ $ Leftrightarrow b^2 + bc + c^2 = a^2.$ Theo định lí côsin thì $a^2 = b^2 + c^2 – 2bccos A$ $ Leftrightarrow cos A = frac12$ $ Leftrightarrow widehat A = 60^0.$