Bài viết trình bày không hề thiếu các hệ thức lượng trong tam giác cùng một trong những dạng toán liên quan, trong những dạng toán, nội dung bài viết hướng dẫn bỏ ra tiết phương thức giải toán, các ví dụ minh họa và bài bác tập trường đoản cú luyện đi kèm.

Bạn đang xem: Bài tập hệ thức lượng trong tam giác lớp 10 có lời giải

A. HỆ THỨC LƯỢNG vào TAM GIÁCCho tam giác $ABC$ gồm $a$, $b$, $c$ theo thứ tự là độ dài bố cạnh đối lập với cha góc $A$, $B$, $C$ của tam giác.

*

1. Định lí cosin:$a^2 = b^2 + c^2 – 2bccos A.$$b^2 = c^2 + a^2 – 2cacos B.$$c^2 = a^2 + b^2 – 2abcos C.$2. Định lí sin:$fracasin A = fracbsin B = fraccsin C = 2R$ ($R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$).3. Độ dài con đường trung đường của tam giác: call $m_a$, $m_b$, $m_c$ là độ dài những đường trung đường lần lượt vẽ từ các đỉnh $A$, $B$, $C$ của tam giác $ABC.$$m_a^2 = fracb^2 + c^22 – fraca^24.$$m_b^2 = fracc^2 + a^22 – fracb^24.$$m_c^2 = fraca^2 + b^22 – fracc^24.$4. Các công thức tính diện tích tam giác: hotline $R$, $r$ theo thứ tự là nửa đường kính đường tròn nước ngoài tiếp, con đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$, $p$ là nửa chu vi $left( p = fraca + b + c2 ight)$ cùng $S$ là diện tích s của tam giác.$S = frac12absin C$ $ = frac12bcsin A = frac12casin B.$$S = fracabc4R = pr.$$S = sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) $ (công thức Hê-rông).

B. CÁC DẠNG TOÁN HỆ THỨC LƯỢNG trong TAM GIÁCDạng 1: Tính một vài yếu tố trong tam giác theo một trong những yếu tố mang đến trước (trong đó có ít nhất một cạnh). Giải tam giác.Phương pháp:+ áp dụng định lí cosin và định lí sin.+ giám sát và đo lường các nhân tố trung gian (trước lúc tính yếu hèn tố nên tìm) bằng những hệ thức lượng vào tam giác yêu thích hợp.Chú ý: bạn đọc hãy ôn tập lại những hệ thức lượng vào tam giác vuông (đã học ở lớp 9).

Bài toán 1: đến tam giác $ABC$ tất cả $b = 23$ $cm$, $c = 14$ $cm$, $widehat A = 100^0 .$a) Tính những cạnh và góc sót lại của tam giác.b) Tính diện tích của tam giác.c) Tính con đường cao $h_a$ vẽ từ $A$ của tam giác.

*

Theo định lí cosin, ta có: $a^2 = b^2 + c^2 – 2bccos A$ $ = 23^2 + 14^2 – 2.23.14.cos 100^0 $ $ approx 836,83.$Do đó: $a = sqrt 836,83 approx 28.9$ ($cm$).Từ định lí cosin ta cũng có: $cos B = fraca^2 + c^2 – b^22ac$ $ = frac(28,9)^2 + 14^2 – 23^22.28,9.14 approx 0,62.$Do đó $widehat B approx 51^0 41′ .$Khi đó: $widehat C approx 180^0 – left( 100^0 + 51^0 41′ ight) = 28^0 19′ .$b) Ta có: $S = frac12absin C$ $ = frac12.28,9.23.sin 28^0 19′ approx 157,6$ $left( cm^2 ight).$c) Ta có: $h_a = bsin C$ $ = 23.sin 28^0 19′ approx 10,9$ $(cm).$

Bài toán 2: mang đến tam giác $ABC$ gồm $a = 12$ $cm$, $widehat B = 70^0 $, $widehat C = 35^0 .$a) Tính những cạnh và các góc còn lại của tam giác.b) Tính bán kính $R$ của mặt đường tròn nước ngoài tiếp tam giác.

*

a) Ta có: $widehat A = 180^0 – (widehat B + widehat C)$ $ = 180^0 – left( 70^0 + 35^0 ight) = 75^0 .$Theo định lí sin, ta có: $fracasin A = fracbsin B = fraccsin C.$Suy ra: $left{ eginarray*20lb = fracasin Bsin A\c = fracasin Csin Aendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20lb = frac12.sin 70^0 sin 75^0 \c = frac12.sin 35^0 sin 75^0 endarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20lb approx 11,7cm\c approx 7,1cmendarray ight.$b) Theo định lí sin, ta có: $2R = fracasin A$ $ Rightarrow R = fraca2sin A$ $ = frac122sin 75^0 approx 6,2$ $(cm).$Nhận xét:– Ta sử dụng định lí cosin khi biết $2$ cạnh và góc xen thân $2$ cạnh đó.– Ta sử dụng định lí sin khi biết:+ $1$ cạnh cùng góc đối lập cạnh đó.+ $1$ cạnh và $2$ góc kề với nó (lúc này ta công thêm được góc đối lập cạnh đó).– việc tìm và đào bới các yếu tố của tam giác khi biết những yếu tố khác có cách gọi khác là giải tam giác.

Bài toán 3: mang lại tam giác $ABC$ có $a = 13$ $cm$, $b = 14$ $cm$, $c = 15$ $cm.$a) Tính $hat A$, $cos B$, $ an C.$b) Tính diện tích s của tam giác.

*

Theo định lí cosin, ta có:$cos A = fracb^2 + c^2 – a^22bc$ $ = frac14^2 + 15^2 – 13^22.14.15 = 0,6$ $ Rightarrow widehat A approx 53^0 7′.$$cos B = fraca^2 + c^2 – b^22ac$ $ = frac13^2 + 15^2 – 14^22.13.15 approx 0,5.$Ta có: $sin ^2B = 1 – cos ^2B$ $ = 1 – (0,5)^2 = 0,75 = frac34$ $ Rightarrow sin B = fracsqrt 3 2.$Do $cos B approx 0,5 Rightarrow widehat B approx 60^0 .$Từ đó: $widehat C approx 180^0 – left( 53^0 7′ + 60^0 ight) = 66^0 53’$ $ Rightarrow an C = an 66^0 53′ approx 2,34.$

Dạng 2: chứng minh các hệ thức liên quan tới các yếu tố trong tam giác. Phương pháp: Sử dụng các hệ thức lượng đã có và những tính chất, những yếu tố vào tam giác để bệnh minh.

Bài toán: mang lại tam giác $ABC$ có các cạnh $a$, $b$, $c$, những đường cao khớp ứng là $h_a$, $h_b$, $h_c.$ bệnh minh:a) $r = (p – a) an fracA2$ $ = (p – b) an fracB2$ $ = (p – c) an fracC2.$b) $frac1h_a + frac1h_b + frac1h_c = frac1r.$

*

Ta có: $r = IE = AE. an fracA2$ $(*).$Mặt khác: $AE + AF + BF$ $ + BD + CD + CE = 2p$ $ Rightarrow 2AE + 2(BD + CD) = 2p$ $ Rightarrow 2AE + 2a = 2p$ $ Rightarrow AE = p – a.$Thế vào $(*)$ ta có: $r = (p – a) an fracA2.$Tương từ bỏ ta minh chứng được: $r = (p – b) an fracB2$ $ = (p – c) an fracC2.$b) nhờ vào công thức tính diện tích s tam giác: $S = frac12ah_a = frac12bh_b = frac12ch_c = pr$, ta có: $frac1h_a = fraca2S$, $frac1h_b = fracb2S$, $frac1h_c = fracc2S$, $frac1r = fracpS.$

Dạng 3: dìm dạng tam giác.Phương pháp: Sử dụng những hệ thức lượng trong tam giác và các tính chất của các tam giác quánh biệt: tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều.Chú ý:+ trường hợp $b^2 + c^2 = a^2$ thì tam giác $ABC$ vuông trên $A.$+ nếu như $b = c$ thì tam giác $ABC$ cân nặng tại $A.$+ ví như $a = b = c$ thì tam giác $ABC$ đều.

Bài toán 1: xác định dạng của tam giác $ABC$, biết: $S = frac14(a + b – c)left( a – b + c ight).$

Theo cách làm Hê-rông, ta có: $S = sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) .$Do đó: $sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) $ $ = frac14(a + b – c)(a – b + c)$ $ Leftrightarrow sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) $ $ = (p – c)(p – b)$ $ Leftrightarrow p(p – a)(p – b)(p – c)$ $ = (p – c)^2(p – b)^2$ $ Leftrightarrow p(p – a)$ $ = (p – b)(p – c)$ $ Leftrightarrow p^2 – pa$ $ = p^2 – pb – pc + bc$ $ Leftrightarrow p(b + c – a) = bc$ $ Leftrightarrow (a + b – c)(b + c – a) = 2bc$ $ Leftrightarrow (b + c)^2 – a^2 = 2bc$ $ Leftrightarrow b^2 + 2bc + c^2 – a^2 = 2bc$ $ Leftrightarrow b^2 + c^2 = a^2.$Vậy tam giác $ABC$ vuông trên $A.$

Bài toán 2: Tam giác $ABC$ có những góc và những cạnh thoả mãn: $frac1 + cos Bsin B = frac2a + csqrt 4a^2 – c^2 .$ chứng minh tam giác $ABC$ là tam giác cân.

Ta có: $frac1 + cos Bsin B = frac2a + csqrt 4a^2 – c^2 $ $ Leftrightarrow left( frac1 + cos Bsin B ight)^2 = left( frac2a + csqrt 4a^2 – c^2 ight)^2$ $ Leftrightarrow frac(1 + cos B)^2sin ^2B = frac(2a + c)^24a^2 – c^2$ $ Leftrightarrow frac(1 + cos B)^21 – cos ^2B = frac2a + c2a – c$ $ Leftrightarrow frac1 + cos B1 – cos B = frac2a + c2a – c.$Theo định lí cosin, ta có: $cos B = fraca^2 + c^2 – b^22ac.$Do đó: $frac1 + cos B1 – cos B$ $ = frac1 + fraca^2 + c^2 – b^22ac1 – fraca^2 + c^2 – b^22ac$ $ = fraca^2 + c^2 – b^2 + 2acb^2 – a^2 – c^2 + 2ac.$Tức là: $fraca^2 + c^2 – b^2 + 2acb^2 – a^2 – c^2 + 2ac$ $ = frac2a + c2a – c$ $ Leftrightarrow 2a^3 + 2ac^2 – 2ab^2 + 4a^2c$ $ – a^2c – c^3 + b^2c – 2ac^2$ $ = 2ab^2 – 2a^3 – 2a^2 – 4a^2c$ $ + b^2c – a^2c – c^3 + 2ac^2$ $ Leftrightarrow 4a^3 – 4ab^2 = 0$ $ Leftrightarrow 4aleft( a^2 – b^2 ight) = 0$ $ Leftrightarrow a^2 = b^2$ $ Leftrightarrow a = b.$Vậy tam giác $ABC$ cân tại $C.$

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆNBài toán 1: Tính những góc, các cạnh còn lại, mặt đường cao $h_a$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ của tam giác $ABC$ biết:a) $a = 118cm$, $b = 92cm$, $widehat C = 58^0 .$b) $b = 31,2cm$, $widehat A = 124^0 30’$, $widehat C = 18^0 .$c) $a = 153cm$, $b = 117cm$, $c = 134cm.$

Bài toán 2: gọi $m_a$, $m_b$, $m_c$ là những trung tuyến ứng với các cạnh $a$, $b$, $c$ của tam giác $ABC$:a) Biết $a = 26cm$, $b = 18cm$, $c = 16cm.$ Tính $m_a.$b) Biết $a = 7cm$, $b = 11cm$, $m_c = 6cm.$ Tính $c.$c) Biết $a = 5cm$, $b = 7 cm$, $widehat C = 46^0 .$ Tính $m_b.$

Bài toán 3: call $I$, $J$ lần lượt là trung điểm của các đường chéo cánh $AC$, $BD$ của tứ giác $ABCD$, bệnh minh:a) $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2$ $ = AC^2 + BD^2 + 4IJ^2.$b) Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành $ Leftrightarrow AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2$ $ = AC^2 + BD^2.$c) khẳng định công thức tính đường chéo $d$ của hình thang cân biết đáy nhỏ tuổi là $a$, đáy lớn là $b$ và cạnh bên là $c.$

Bài toán 4: minh chứng tập các điểm cơ mà tổng các bình phương khoảng cách đến $2$ điểm thắt chặt và cố định $A$, $B$ mang đến trước bằng một số không thay đổi $k^2$ là một trong những đường tròn.

Bài toán 5: mang đến tam giác $ABC$, triệu chứng minh:a) $S = fracabc4R.$b) $S = pr.$c) $sin A = frac2bcsqrt p(p – a)(p – b)(p – c) .$d) $S = sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) .$

Bài toán 6: điện thoại tư vấn $r_a$, $r_b$, $r_c$ theo thứ tự là nửa đường kính đường tròn bàng tiếp trực thuộc cạnh $a$, $b$, $c$ của tam giác $ABC$, $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC.$ bệnh minh:a) $r_a = p an fracA2$ $ = fracSp – a$ $ = frac(p – b)(p – c)r.$b) $frac1r_a + frac1r_b + frac1r_c = frac1r.$c) $S = sqrt r.r_a.r_b.r_c .$d) $r = p an fracA2 an fracB2 an fracC2.$e) $r_a + r_b + r_c – r = 4R$ (công thức Stây-nơ).

Xem thêm: Sự Khác Nhau Giữa Progressive House Là Gì ? Hot Dj Hướng Dẫn Cách Phân Biệt Dòng Nhạc

Bài toán 7: đến tam giác $ABC$, hội chứng minh:a) $h_a = frac2asqrt p(p – a)(p – b)(p – c) .$b) $c^2 = (a – b)^2 + 4S.frac1 – cos Csin C.$c) $ asin Bsin C = h_asin A.$d) $cot A + cot B + cot C$ $ = fracRleft( a^2 + b^2 + c^2 ight)abc.$

Bài toán 8: mang đến tam giác $ABC$, hội chứng minh:a) trường hợp $m_a = c$ thì $ an B = 3 an C.$b) nếu như $a + c = 2b$ thì $ac = 6Rr.$

Bài toán 9: chứng tỏ điều kiện đề nghị và đủ để tam giác $ABC$ vuông là:a) $sin A = fracsin B + sin Ccos B + cos C.$b) $ an fracB2 = fracba + c.$c) $2R + r = p.$

Bài toán 10: khẳng định dạng tam giác $ABC$, biết rằng:a) $(p – b)cot fracC2 = p an fracB2.$b) $fracsin ^2Bsin ^2C = frac an B an C.$c) $S = frac23R^2left( sin ^3A + sin ^3B + sin ^3C ight).$d) $sin ^4C + 2sin ^4A + 2sin ^4B$ $ = 2sin ^2Cleft( sin ^2A + sin ^2B ight).$

Bài toán 11: minh chứng rằng nếu như $left{ eginarray*20lc = 2acos B\fraca^3 + b^3 – c^3a + b – c = c^2endarray ight.$ thì tam giác $ABC$ đều.