Cho hình bình hành (ABCD) có (AB = a, BC = b ,BD = m), với (AC = n). Chứng tỏ rằng :

$$m^2 + n^2 = 2(a^2 + b^2)$$


Phương pháp giải - Xem bỏ ra tiết

*


Lời giải đưa ra tiết

*

Gọi O là giao điểm của AC cùng BD. Khi đó O là trung điểm của AC cùng BD.

Tam giác ABD có AO là mặt đường trung tuyến.

Áp dụng định lí về mặt đường trung tuyến:

(AO^2 = frac2left( AB^2 + AD^2 ight) - BD^24)

Mà O là trung điểm AC phải (AO = fracAC2 = fracn2)

Thay (OA = fracn2, , AB = a,) (AD = BC = b) với (BD = m) ta được: 

(eginarraylleft( fracn2 ight)^2 = frac2left( a^2 + b^2 ight) - m^24\ Leftrightarrow fracn^24 = frac2left( a^2 + b^2 ight) - m^24\ Leftrightarrow n^2 = 2left( a^2 + b^2 ight) - m^2\ Leftrightarrow m^2 + n^2 = 2left( a^2 + b^2 ight)endarray)

Cách 2:

Áp dụng định lý con đường trung tuyến mang lại tam giác ABC gồm BO là mặt đường trung tuyến ra có:

(eginarraylBO^2 = frac2left( BA^2 + BC^2 ight) - AC^24\ Leftrightarrow left( fracm2 ight)^2 = frac2left( a^2 + b^2 ight) - n^24\ Leftrightarrow fracm^24 = frac2left( a^2 + b^2 ight) - n^24\ Leftrightarrow m^2 = 2left( a^2 + b^2 ight) - n^2\ Leftrightarrow m^2 + n^2 = 2left( a^2 + b^2 ight)endarray)

Cách 3:

Áp dụng định lí cô sin đến tam giác ABC có:

(eginarraylAC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB.BCcos widehat ABC\ Rightarrow n^2 = a^2 + b^2 - 2abcos widehat ABCendarray)

Áp dụng định lí cô sin mang đến tam giác ABD có:

(eginarraylBD^2 = AB^2 + AD^2 - 2AB.ADcos widehat BAD\Rightarrow m^2 = a^2 + b^2 - 2abcos widehat BADendarray)

(eginarrayl Rightarrow m^2 + n^2\ = left( a^2 + b^2 ight) - 2abcos widehat ABC\ + left( a^2 + b^2 ight) - 2abcos widehat BAD\ = 2left( a^2 + b^2 ight) - 2ableft( cos widehat ABC + cos widehat BAD ight)endarray)


Mà (widehat ABC + widehat BAD = 180^0 ) ( Rightarrow cos widehat ABC = - cos left( 180^0 - widehat ABC ight) ) (= - cos widehat BAD)