Gọi (M) và (N) theo lần lượt là trung điểm các cạnh (AB) cùng (CD) của tứ giác (ABCD). Minh chứng rằng:

(2overrightarrow MN = overrightarrow AC + overrightarrow BD = overrightarrow BC + overrightarrow AD )


Phương pháp giải - Xem đưa ra tiết

*


Với (M) là trung điểm của (AB) ta có:

+) (overrightarrow MA + overrightarrow MB = overrightarrow 0 .)

+) với mọi điểm (O) bất cứ ta có: (overrightarrow OA + overrightarrow OB = 2overrightarrow OM .)


Lời giải đưa ra tiết

*

(N) là trung điểm của (CD) đề xuất ta có:

( overrightarrow MC + overrightarrow MD=2overrightarrow MN )

hay (2overrightarrow MN= overrightarrow MC + overrightarrow MD) (1)

Theo nguyên tắc 3 điểm, ta có:

(overrightarrow MC = overrightarrow MA + overrightarrow AC ) (2)

(overrightarrow MD = overrightarrow MB + overrightarrow BD ) (3)

Từ (1), (2), (3) ta có:

(2overrightarrow MN = overrightarrow MA + overrightarrow AC + overrightarrow MB + overrightarrow BD )

(= left( overrightarrow MA + overrightarrow MB ight) + overrightarrow AC + overrightarrow BD ) ( = overrightarrow 0 + left( overrightarrow AC + overrightarrow BD ight)) ( = overrightarrow AC + overrightarrow BD )

(Do M là trung điểm AB buộc phải (overrightarrow MA + overrightarrow MB =overrightarrow 0))

Chứng minh tương tự, ta có:

(eginarrayl2overrightarrow MN = overrightarrow MC + overrightarrow MD \ = left( overrightarrow MB + overrightarrow BC ight) + left( overrightarrow MA + overrightarrow AD ight)\ = overrightarrow MB + overrightarrow BC + overrightarrow MA + overrightarrow AD \ = left( overrightarrow MB + overrightarrow MA ight) + left( overrightarrow BC + overrightarrow AD ight)\ = overrightarrow BC + overrightarrow AD endarray)