Gọi (AM) là trung đường của tam giác (ABC) với (D) là trung điểm của đạn (AM). Chứng tỏ rằng:


LG a

(2overrightarrow DA + overrightarrow DB + overrightarrow DC = overrightarrow 0 )

Phương pháp giải:

Với (M) là trung điểm của (AB) ta có:

+) (overrightarrow MA + overrightarrow MB = overrightarrow 0 .)

+) với tất cả điểm (O) bất kỳ ta có: (overrightarrow OA + overrightarrow OB = 2overrightarrow OM .)

Lời giải chi tiết:

 

*

Vì (M) là trung điểm của (BC) nên:

Ta có:

(overrightarrow DB + overrightarrow DC = 2overrightarrow DM )

Mặt khác, bởi vì (D) là trung điểm của đoạn (AM) nên

(overrightarrow DM = - overrightarrow DA ) (Leftrightarrow overrightarrow DM + overrightarrow DA = overrightarrow 0 )

Khi đó: (2overrightarrow DA + overrightarrow DB + overrightarrow DC = 2overrightarrow DA + 2overrightarrow DM )(= 2left( overrightarrow DA + overrightarrow DM ight) = overrightarrow 0 )


LG b

(2overrightarrow OA + overrightarrow OB + overrightarrow OC = 4overrightarrow OD ), cùng với (O) là vấn đề tùy ý.

Phương pháp giải:

Với (M) là trung điểm của (AB) ta có:

+) (overrightarrow MA + overrightarrow MB = overrightarrow 0 .)

+) với mọi điểm (O) bất kỳ ta có: (overrightarrow OA + overrightarrow OB = 2overrightarrow OM .)

Lời giải đưa ra tiết:

Ta có:

Cách khác:

(eqalign& 2overrightarrow OA + overrightarrow OB + overrightarrow OC = 4overrightarrow OD cr )

(eginarrayl Leftrightarrow 2overrightarrow OA + overrightarrow OB + overrightarrow OC - 4overrightarrow OD = overrightarrow 0 \ Leftrightarrow 2overrightarrow OA + overrightarrow OB + overrightarrow OC - 2overrightarrow OD - overrightarrow OD - overrightarrow OD = overrightarrow 0 \ Leftrightarrow left( 2overrightarrow OA - 2overrightarrow OD ight) + left( overrightarrow OB - overrightarrow OD ight) + left( overrightarrow OC - overrightarrow OD ight) = overrightarrow 0 \ Leftrightarrow 2left( overrightarrow OA - overrightarrow OD ight) + overrightarrow DB + overrightarrow DC = overrightarrow 0 \ Leftrightarrow 2overrightarrow DA + overrightarrow DB + overrightarrow DC = overrightarrow 0 endarray)

(Đúng theo câu a) 

Vậy: (2overrightarrow OA + overrightarrow OB + overrightarrow OC = 4overrightarrow OD ), với (O) là điểm tùy ý