Hướng dẫn giải, đáp án bài bác 2,3,4,5,6 trang 36,37 SGK giải tích lớp 11(Một số phương trình lượng giác hay gặp) – Chương 1: Hàm con số giác với phương trình lượng giác.

Bạn đang xem: Bài 2 trang 36 sgk toán 11

Bài 2. Giải những phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 ; b) 2sin2x + √2sin4x = 0.

Đáp án: a) Đặt t = cosx, t ∈ <-1 ; 1> ta được phương trình 2t2 – 3t + 1 = 0 ⇔ t ∈ 1 ; 1/2.

Nghiệm của phương trình đã mang lại là những nghiệm của nhị phương trình sau:

cosx = 1 ⇔ x = k2π với cosx = 1/2⇔ x = ±π/3 + k2π.

Đáp số : x = k2π ; x = ±π/3 + k2π, k ∈ Z.

b) Ta gồm sin4x = 2sin2xcos2x (công thức nhân đôi), cho nên phương trình vẫn cho tương đương với

2sin2x(1 + √2cos2x) = 0 ⇔ 

*

*

Bài 3. Giải những phương trình sau:

a) sin2 (x/2) – 2cos(x/2) + 2 = 0; b) 8cos2x + 2sinx – 7 = 0;

c) 2tan2x + 3tanx + 1 = 0; d) tanx – 2cotx + 1 = 0.

*
 a) Đặt t = cos (x/2), t ∈ <-1 ; 1> thì phương trình trở thành

(1 – t2) – 2t + 2 = 0 ⇔ t2 + 2t -3 = 0 ⇔ 

*

Phương trình sẽ cho tương đương với

cos (x/2) = 1 ⇔ x/2 = k2π ⇔ x = 4kπ, k ∈ Z.

b) Đặt t = sinx, t ∈ <-1 ; 1> thì phương trình trở thành

8(1 – t2) + 2t – 7 = 0 ⇔ 8t2 – 2t – 1 = 0 ⇔ t ∈ 1/2;-1/4.

Các nghiệm của phương trình đã cho rằng nghiệm của hai phương trình sau :

*

và 

*

Đáp số : x = π/6 + k2π; x = 5π/6 + k2π;

x = arcsin(-1/4) + k2π; x = π – arcsin(-1/4) + k2π, k ∈ Z.

c) Đặt t = tanx thì phương trình trở nên 2t2 + 3t + 1 = 0 ⇔ t ∈ -1 ; -1/2.

Vậy 

*

d) Đặt t = tanx thì phương trình trở thành


Quảng cáo


t – 2/t + 1 = 0 ⇔ t2 + t – 2 = 0 ⇔ t ∈ 1 ; -2.

Vậy 

*

Bài 4: Giải các phương trình sau:

a) 2sin2x + sinxcosx – 3cos2x = 0;

b) 3sin2x – 4sinxcosx + 5cos2x = 2;

c) 3sin2x – sin2x + 2cos2x = 1/2 ;

d) 2cos2x – 3√3sin2x – 4sin2x = -4.

Giải: a) hay thấy cosx = 0 không thỏa mãn phương trình đã do đó chiaw phương trình cho cos2x ta được phương trình tương đương 2tan2x + tanx – 3 = 0.

Đặt t = tanx thì phương trình này trở thành

2t2 + t – 3 = 0 ⇔ t ∈ 1 ; -3/2.

Vậy 

*

b) vậy 2 = 2(sin2x + cos2x), phương trình đã đến trở thành

3sin2x – 4sinxcosx + 5cos2x = 2sin2x + 2cos2x

⇔ sin2x – 4sinxcosx + 3cos2x = 0

⇔ tan2x – 4tanx + 3 = 0

⇔ 

*

⇔ x = Π/4 + kπ ; x = arctan3 + kπ, k ∈ Z.

c) cụ sin2x = 2sinxcosx ;


Quảng cáo


1/2=1/2(sin2x + cos2x) vào phương trình đã mang đến và rút gọn gàng ta được phương trình tương đương

1/2 sin2x + 2sinxcosx – 5/2cos2x = 0 ⇔ tan2x + 4tanx – 5 = 0 ⇔ 

*

⇔ x = π/4 + kπ ; x = arctan(-5) + kπ, k ∈ Z.

d) 2cos2x – 3√3sin2x – 4sin2x = -4

⇔ 2cos2x – 3√3sin2x + 4 – 4sin2x = 0

⇔ 6cos2x – 6√3sinxcosx = 0 ⇔ cosx(cosx – √3sinx) = 0

⇔ 

*

Bài 5. Giải những phương trình sau:

a) cosx – √3sinx = √2; b) 3sin3x – 4cos3x = 5;

c) 2sin2x + 2cos2x – √2 = 0; d) 5cos2x + 12sin2x -13 = 0.

Giải: a) cosx – √3sinx = √2 ⇔ cosx – tan π/3sinx = √2

⇔ cos π/3cosx – sinπ/3sinx = √2cosπ/3⇔ cos(x +π/3) = √2/2

*

b) 3sin3x – 4cos3x = 5 ⇔ 3/5sin3x – 4/5cos3x = 1.

Đặt α = arccos thì phương trình trở thành

cosαsin3x – sinαcos3x = 1 ⇔ sin(3x – α) = 1 ⇔ 3x – α = π/2 + k2π

⇔ x = π/6 +α/3 +k(2π/3) , k ∈ Z (trong đó α = arccos3/5).

c) Ta bao gồm sinx + cosx = √2cos(x – π/4) nên phương trình tương tự với 2√2cos(x – π/4) – √2 = 0 ⇔ cos(x – π/4) = 1/2

*

d) 5cos2x + 12sin2x -13 = 0 ⇔ 

*

Đặt α = arccos5/13 thì phương trình trở thành

cosαcos2x + sinαsin2x = 1 ⇔ cos(2x – α) = 1

⇔ x = α/2 + kπ, k ∈ Z (trong đó α = arccos 5/13).

Bài 6. a. Chảy (2x + 1)tan (3x – 1) = 1;

b. Tung x + tung (x + π/4) = 1

*

*

Ôn lại Lý thuyết

Phương pháp giải phương trình hàng đầu đối với 1 hàm con số giác

Chỉ phải thực hiên hai phép biến hóa tương đương: dịch số hạng không cất x sang trọng vế đề xuất và thay đổi dấu; chia hai vế phương trình cho một trong những khác 0 là ta rất có thể đưa phương trình lượng giác cơ bạn dạng đã biết cách giải.

Phương pháp giải phương trình bậc hai so với một hàm số lượng giác

Đặt hàm con số giác cất ẩn phụ ta chuyển được phương trình về dạng một phương trình bậc hai. Giải phương trình bậc hai này. Nếu phương trình bậc hai tất cả nghiệm thì cụ giá trị của nghiệm kiếm được trở lại phép đặt ta sẽ tiến hành một phương trình lượng giác cơ bạn dạng đã biết cách giải.

Phương pháp giải phương trình asinx + bcosx = c

Chỉ bắt buộc xét trường đúng theo cả hai thông số a, b rất nhiều khác 0 (trường hợp một trong những hai hệ số đó bởi 0 thì phương trình buộc phải giải là hpuwong trình bậc nhất đối với cùng một hàm con số giác (sinx hoặc cosx) đã hiểu cách thức giải.

Cách 1: phân chia hai vế phương trình đến

*
 và gọi α là góc lượng giác tạo bởi chiều dương của trục hoành với vecto OM = (a ; b) thì phương trình trở nên một phương trình đã hiểu phương pháp giải:
*
Cách 2: Viết lại phương trình bên dưới dạng
*
, phương trình thay đổi :
*

Phương trình này đã hiểu phương pháp giải.

Chú ý : Để phương trình 

*
 có nghiệm, điều kiện cần và đủ là

*

Đó cũng là đk cần cùng đủ để phương trình asinx + bcosx = c tất cả nghiệm.

Xem thêm: 2Gir 1 Cup Là Gì ? Tại Sao Khiến Mọi Người Sốc? The New 2 Girls 1 Cup

Phương pháp giải những phương trình chuyển được về dạng phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm con số giác

Hệ thống những công thức lượng giác rất phong phú và đa dạng nên những phương trình lượng giác cũng khá đa dạng. Thực hiện thành thạo các phép chuyển đổi lượng giác các em hoàn toàn có thể đưa các phương trình nên giải về dạng phương trình bậc nhất, bậc hai so với một hàm con số giác. Chẳng hạn, phương trình phong cách bậc hai so với cosx cùng sinx :

a.sin2x + b.sinx.cosx + cos2x = d

có thể đem đến dạng phương trình bậc hai so với tanx bằng phương pháp chia phương trình cho cos2x. Cũng chính vì sự đa dạng và đa dạng và phong phú ấy nên cửa hàng chúng tôi cũng chỉ có thể minh họa cách thức giải thông qua một vài ví dụ điển hình nổi bật và những em hoàn toàn có thể nắm vững phương thức giải trải qua nhiều bài xích tập.