Hướng dẫn giải bài bác §2. Dãy số, Chương III. Dãy số. Cấp số cộng và cung cấp số nhân, sách giáo khoa Đại số với Giải tích 11. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 trang 92 sgk Đại số cùng Giải tích 11 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài xích tập đại số với giải tích bao gồm trong SGK để giúp đỡ các em học viên học giỏi môn toán lớp 11.

Bạn đang xem: Bài 1 trang 92 sgk toán 11

Lý thuyết

1. Hàng số

Dãy số là tập hợp các giá trị của hàm số (u:mathbbN* o mathbbR, m n o u(n))

Được thu xếp theo vật dụng tự tăng dần thường xuyên theo đối số tự nhiên và thoải mái (n):

(u(1),u(2),u(3),…,u(n),…)

( ullet m )Ta kí hiệu (u(n)) bởi vì (u_n) và gọi là số hạng thiết bị n giỏi số hạng tổng quát của dãy số, (u_1) được gọi là số hạng đầu của hàng số.

( ullet ) Ta hoàn toàn có thể viết hàng số bên dưới dạng triển khai (u_1,u_2,…,u_n,…) hoặc dạng rút gọn gàng ((u_n)).

2. Phương pháp cho dãy số

Người ta thường mang lại dãy số theo các cách:

( ullet ) mang lại số hạng tổng quát, tức là: cho hàm số u xác minh dãy số đó

( ullet ) Cho bằng công thức truy tìm hồi, tức là:

Cho một vài số hạng đầu của dãy

Cho hệ thức biểu hiện số hạng tổng thể qua số hạng (hoặc một vài số hạng) đứng trước nó.

3. Hàng số tăng, hàng số giảm

( ullet ) hàng số ((u_n)) call là hàng tăng trường hợp (u_n u_n + 1 m forall n in mathbbN*)

4. Dãy số bị chặn

( ullet ) hàng số ((u_n)) call là hàng bị chặn trên nếu có một vài thực (M) làm sao để cho (u_n m m forall n in mathbbN*).

( ullet ) dãy số vừa bị ngăn trên vừa bị chặn dưới hotline là dãy bị chặn, tức là tồn tại số thực dương (M) sao để cho (left| u_n ight| Dưới đó là phần phía dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập vào phần hoạt động của học sinh sgk Đại số cùng Giải tích 11.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 85 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Cho hàm số (displaystyle f(n) =1 over 2n – 1), n ∈ N*. Tính f(1), f(2), f(3), f(4), f(5).

Trả lời:

Ta có:

(eqalign& f(1) = 1 over 2.1 – 1 = 1 over 2 – 1 = 1 over 1 = 1 cr& f(2) = 1 over 2.2 – 1 = 1 over 4 – 1 = 1 over 3 cr& f(3) = 1 over 2.3 – 1 = 1 over 6 – 1 = 1 over 5 cr& f(4) = 1 over 4.2 – 1 = 1 over 8 – 1 = 1 over 7 cr& f(5) = 1 over 5.2 – 1 = 1 over 10 – 1 = 1 over 9 cr )

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 86 sgk Đại số với Giải tích 11

Hãy nêu các cách thức cho một hàm số với ví dụ minh họa.

Trả lời:

– Hàm số cho bằng bảng:

Ví dụ:

x01234
y13579

– Hàm số cho bởi công thức:

Ví dụ:

(displaystyle y = 5x + 1 over x)

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 86 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Viết năm số hạng đầu cùng số hạng tổng quát của những dãy số sau:

a) dãy nghịch đảo của những số tự nhiên và thoải mái lẻ;

b) Dãy các số thoải mái và tự nhiên chia cho $3$ dư $1$.

Trả lời:

a) Năm số hạng đầu:

(displaystyle 1 over 1;,1 over 3;,1 over 5;,1 over 7;,1 over 9)

số hạng tổng thể của hàng số: (displaystyle1 over 2n + 1) (n∈N)

b) Năm số hạng đầu: $1; 4; 7; 10; 13$

số hạng tổng thể của hàng số: $3n + 1(n ∈ N)$

4. Trả lời thắc mắc 4 trang 87 sgk Đại số với Giải tích 11

Viết mười số hạng đầu của dãy Phi-bô-na-xi.

Trả lời:

Mười số hạng đầu của hàng Phi-bô-na-xi:

$1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55.$

5. Trả lời câu hỏi 5 trang 89 sgk Đại số với Giải tích 11

Cho các dãy số (un) với (vn) cùng với un = 1 + (1 over n); việt nam = 5n – 1.

a) Tính un+1, vn+1.

b) chứng tỏ un+1 n và vn+1 > vn, với đa số n ∈ N*.

Trả lời:

a) un = 1 + (1 over n+1); vn+1= 5(n + 1) – 1 = 5n + 4

b) Ta có:

(u_n + 1 – u_n = (1 + 1 over n + 1) – (1 + 1 over n) = 1 over n + 1 – 1 over n = – 1 over n(n + 1))

⇒ un+1 n , ∀n ∈ N*

(v_n + 1 – v_n = (5n + 4) – (5n – 1) = 5 > 0)

⇒ vn+1 > vn ,∀n ∈ N*

6. Trả lời thắc mắc 6 trang 90 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Chứng minh những bất đẳng thức (displaystylen over n^2 + 1 le 1 over 2;,,,n^2 + 1 over 2n ge 1) với mọi n∈N*

Trả lời:

Ta có:

(eqalign& n^2 over n^2 + 1 – 1 over 2 = 2n – (n^2 + 1) over 2(n^2 + 1) = – (n – 1)^2 over 2(n^2 + 1) le 0;,,forall n in N^* cr& Rightarrow n over n^2 + 1 & n^2 + 1 over 2n – 1 = n^2 + 1 – 2n over 2n = (n – 1)^2 over 2n ge 0;,,forall n in N* cr& Rightarrow n^2 + 1 over 2n ge 1;,,forall n in N^* cr )

Dưới đấy là phần lý giải giải bài bác 1 2 3 4 5 trang 92 sgk Đại số cùng Giải tích 11. Chúng ta hãy hiểu kỹ đầu bài trước lúc giải nhé!

Bài tập

circologiannibrera.com trình làng với chúng ta đầy đủ phương pháp giải bài tập đại số và giải tích 11 kèm bài giải bỏ ra tiết bài 1 2 3 4 5 trang 92 sgk Đại số và Giải tích 11 của bài bác §2. Dãy số trong Chương III. Dãy số. Cung cấp số cùng và cung cấp số nhân cho chúng ta tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài xích tập chúng ta xem dưới đây:

*
Giải bài xích 1 2 3 4 5 trang 92 sgk Đại số với Giải tích 11

1. Giải bài xích 1 trang 92 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Viết năm số hạng đầu của các dãy số gồm số hạng bao quát un cho bởi vì công thức:

a) un = ( fracn2^n-1);

b) un = ( frac2^n-12^n+1) ;

c) un = ( (1+frac1n)^n);

d) un = ( fracnsqrtn^2+1).

Bài giải:

Với $n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = 5$ ta kiếm được $5$ số hạng đầu của những dãy số

a) un = ( fracn2^n-1);

u1 = 1; u2 = ( frac23), ( u_3=frac37; u_4=frac415;u_5=frac531)

b) un = ( frac2^n-12^n+1)

( u_1=frac13,u_2=frac35;u_3=frac79;u_4=frac1517;u_5=frac3133)

c) un = ( (1+frac1n)^n);

u1 = 2; ( u_2=frac94;u_3=frac6427;u_4=frac625256;u_5=frac77763125)

d) un = ( fracnsqrtn^2+1)

( u_1=frac1sqrt2;u_2=frac2sqrt5;u_3=frac3sqrt10;u_4=frac4sqrt17;u_5=frac5sqrt26)

2. Giải bài xích 2 trang 92 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Cho dãy số Un , biết: u1 = -1; un+1 = un +3 cùng với $n ≥ 1$.

a) Viết năm số hạng đầu của hàng số;

b) minh chứng bằng phương thức quy nạp: un = 3n -4.

Bài giải:

a) từ u1 = -1 ta tìm kiếm được u2 = 2, lần lượt vì thế ta tìm kiếm được u3, u4, u5 có giá trị là $5, 8, 11$.

b) Ta thấy, với n =1 thì u1 =$ 3.1 – 4 = -1.$

Giả sử hệ thức đúng cùng với n = k ≥ 1 ⇒ uk $= 3k -4.$

Xét cùng với $n = k +1$ ta có:

uk+1 = uk + 3 = $3k – 4 + 3$ = $3(k + 1) – 4 = 3n – 4$ (đpcm)

Vậy hệ thức đúng với mọi n ε N*

3. Giải bài 3 trang 92 sgk Đại số và Giải tích 11

Dãy số un mang lại bởi: u1 = 3; un+1 = ( sqrt1+u^2_n), $n ≥ 1.$

a) Viết năm số hạng đầu của hàng số;

b) dự đoán công thức số hạng tổng thể và minh chứng côngt hức đó bằng phương pháp quy nạp.

Bài giải:

a) trường đoản cú u1 = 3 ta tìm kiếm được u2 = $sqrt10$, lần lượt do đó ta tìm được u3, u4, u5 có mức giá trị là $sqrt11$ , $sqrt12$ , $sqrt13$.

b) từ các tác dụng của câu a ta dự đoạn bí quyết của dãy số như sau:

$u_n = sqrtn + 8$ (*)

Chứng minh:

Ta thấy, cùng với $n = 1$ thì cách làm (*) đúng.

Giả sử đúng với $n = k ≥ 1$, thì $u_k = sqrtk + 8$

Xét cùng với $n = k + 1$, ta có:

uk+1 = ( sqrt1+u^2_k=sqrt1+(sqrtk+8)^2=sqrt(k+1)+8) $= sqrtn + 8$ (đpcm)

Như vậy phương pháp (1) đúng cùng với $n = k + 1$.

4. Giải bài bác 4 trang 92 sgk Đại số với Giải tích 11

Xét tính tăng, giảm của những dãy số un biết:

a) $u_n = frac1n – 2;$

b) $u_n = fracn-1n+1;$

c) $u_n=(-1)^n(2^n + 1);$

d) $u_n = frac2n+15n+2.$

Bài giải:

a) Ta gồm un+1 = ( frac1n+1 – 2)

Xét hiệu:

un+1 – un = ( frac1n+1 – 2 – ( frac1n) – 2))

(= frac1n+1) – ( frac1n).

Ta thấy ( frac1n+1) n+1 – un = ( frac1n+1) – ( frac1n) * .

⇒ dãy số đã cho rằng dãy số giảm.

b) Ta bao gồm un+1 = $fracn+1-1n+1+1$

⇒ un+1 – un = ( fracn+1-1n+1+1-fracn-1n+1=fracnn+2-fracn-1n+1)

= ( fracn^2+n- n^2-n+2(n+1)(n+2)=frac2(n+1)(n+2)>0)

⇒ dãy số đã cho là dãy số tăng.

c) những số hạng ban sơ vì bao gồm thừa số (-1)n, yêu cầu dãy số dãy số không tăng với cũng ko giảm.

d) Ta gồm $u_n+1 = frac2n+35n+7$

Ta có ( fracu_n+1u_n) ( =frac2n+35n+7.frac5+22n+1=frac10n^2+19n+610n^2+19n+7*

⇒ dãy số đã cho là dãy số sút dần.

5. Giải bài xích 5 trang 92 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Trong các dãy số sau, hàng số như thế nào bị ngăn dưới, hàng số như thế nào bị chặn trên, hàng số làm sao bị chặn?

a) un = 2n2 -1;

b) un = ( frac1n(n+2))

c) un = ( frac12n^2-1);

d) un = sinn + cosn

Bài giải:

a) un = 2n2 -1;

Ta có un = 2n2 -1 ≥ 1 với mọi n ε N*

⇒ dãy số bị ngăn dưới cùng không tồn tại một số trong những M để un = 2n2 -1 ≤ M, phải dãy số không biến thành chặn trên.

b) un = ( frac1n(n+2))

Ta thấy: un > 0 với tất cả n ε N*

Ta có: n(n + 2) = n2 + 2n ≥ 3 ⇒ ( frac1n(n+2)) ( leq frac13).

⇒ 0 n ( leq frac13) với tất cả n ε N* ⇒ hàng số bị chặn.

c) un = ( frac12n^2-1);

Ta có: 2n2 – 1 > 0 ⇒ ( frac12n^2-1) > 0

mà 2n2 – 1≥ 1 ⇒ ( u_n=frac12n^2-1) ≤ 1.

⇒ 0 n ≤ 1, với tất cả n ε N*  ⇒ dãy số bị chặn.

Xem thêm: Hướng Dẫn Giải Bài Tập Toán 10 Sgk Đại Số Nâng Cao Chi Tiết, Giải Bài Tập Sgk Toán 10 Nâng Cao Chi Tiết

d) un = sinn + cosn

Ta có: $u_n = sqrt2(fracsqrt22sinn + fracsqrt22cosn) = sqrt2sin(n + fracpi 4)$, với tất cả n.

⇒ $-sqrt2 ≤ sinn + cosn ≤ sqrt2$ với đa số n ε N*

Vậy $-sqrt2 *

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài bác tập sgk toán lớp 11 với giải bài bác 1 2 3 4 5 trang 92 sgk Đại số và Giải tích 11!