Hướng dẫn giải bài bác §2. Phương trình con đường tròn, Chương III. Phương pháp tọa độ trong phương diện phẳng, sách giáo khoa Hình học tập 10. Nội dung bài giải bài bác 1 2 3 4 5 6 trang 83 84 sgk Hình học 10 bao hàm tổng thích hợp công thức, lý thuyết, cách thức giải bài bác tập hình học gồm trong SGK để giúp đỡ các em học viên học giỏi môn toán lớp 10.

Bạn đang xem: Bài 1 trang 83 sgk hình học 10


Lý thuyết

1. Phương trình đường tròn có tâm và nửa đường kính cho trước

*

Phương trình con đường tròn gồm tâm (I(a; b), ) bán kính (R) là:

$(x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2$

2. Nhận xét

Phương trình mặt đường tròn ((x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2) rất có thể được viết bên dưới dạng:

$$x^2 + y^2 – 2ax – 2by + c = 0$$

trong đó (c = a^2 + b^2 + R^2)

Ngược lại, phương trình (x^2 + y^2 – 2ax – 2by + c = 0) là phương trình của mặt đường tròn ((C)) khi và chỉ khi (a^2 + b^2-c>0). Khi đó đường tròn ((C)) gồm tâm (I(a; b)) và bán kính (R = sqrta^2+b^2 – c)

3. Phương trình tiếp tuyến của con đường tròn

Cho điểm (M_0(x_0;y_0)) nằm trê tuyến phố tròn ((C)) trọng tâm (I(a; b)). Hotline (∆) là tiếp đường với ((C)) tại (M_0).

*

Ta có (M_0) nằm trong (∆) cùng vectơ (vecIM_0=(x_0 – a;y_0 – b)) là vectơ pháp tuyến cuả ( ∆).

Do kia (∆) bao gồm phương trình là : $(x_0 – a)(x – x_0) + (y_0 – b)(y – y_0) = 0, (1)$


Phương trình (1) là phương trình tiếp tuyến của mặt đường tròn ((x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2) trên điểm (M_0) nằm trê tuyến phố tròn.

Dưới đây là phần phía dẫn trả lời các thắc mắc và bài tập vào mục hoạt động vui chơi của học sinh bên trên lớp sgk Hình học tập 10.

Câu hỏi

1. Trả lời thắc mắc 1 trang 82 sgk Hình học tập 10

Cho hai điểm $A(3; -4)$ và$ B(-3; 4)$.

Viết phương trình mặt đường tròn $(C)$ nhận $AB$ là con đường kính.

Trả lời:

Gọi $I$ là đường tròn dấn $AB$ là đường kính

⇒ $I$ là trung điểm của $AB ⇒ I(0; 0)$

⇒ $AB= sqrt(-3-3)^2+(4+4)^2 =10$


⇒ $R = fracAB2 = 5$

Phương trình mặt đường tròn $(C)$ nhận $AB$ là 2 lần bán kính là:

$x^2 + y^2 = 25$

2. Trả lời thắc mắc 2 trang 82 sgk Hình học 10


Hãy cho thấy thêm phương trình nào trong các phương trình sau đó là phương trình đường tròn:

$2x^2 + y^2 – 8x + 2y – 1 = 0;$

$x^2 + y^2 + 2x – 4y – 4 = 0;$


$x^2 + y^2 – 2x – 6y + đôi mươi = 0;$

$x^2 + y^2 + 6x + 2y + 10 = 0.$

Trả lời:

– Phương trình: $2x^2 + y^2 – 8x + 2y – 1 = 0$ có:

$a = 4; b = -1; c = -1$ ⇒$ a^2 + b^2 – c = 18 > 0$

⇒ phương trình trên là phương trình mặt đường tròn.


– Phương trình: $x^2 + y^2 + 2x – 4y – 4 = 0$ có:

$a = -1; b = 2; c = -4$ ⇒$ a^2 + b^2 – c = 9 > 0$

⇒ phương trình trên là phương trình mặt đường tròn.

– Phương trình: $x^2 + y^2 – 2x – 6y + trăng tròn = 0$ có:

$a = 1; b = 3; c = 20$ ⇒$ a^2 + b^2 – c = -10 Dưới đấy là phần hướng dẫn giải bài xích 1 2 3 4 5 6 trang 83 84 sgk Hình học 10. Chúng ta hãy gọi kỹ đầu bài trước lúc giải nhé!

Bài tập

circologiannibrera.com reviews với các bạn đầy đủ phương thức giải bài bác tập hình học tập 10 kèm bài giải bỏ ra tiết bài 1 2 3 4 5 6 trang 83 84 sgk Hình học tập 10 của bài bác §2. Phương trình con đường tròn trong Chương III. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cho chúng ta tham khảo. Nội dung cụ thể bài giải từng bài tập các bạn xem bên dưới đây:

*
Giải bài xích 1 2 3 4 5 6 trang 83 84 sgk Hình học tập 10

1. Giải bài xích 1 trang 83 sgk Hình học tập 10

Tìm trọng điểm và chào bán kính của những đường tròn sau:

a) (x^2 + m y^2 – 2x-2y – 2 m = 0)

b) (16x^2 + m 16y^2 + m 16x m - m 8y m - m 11 m = m 0)

c) (x^2 + m y^2 – m 4x m + m 6y m - m 3 m = m 0.)

Bài giải:

a) Với con đường tròn gồm phương trình: (x^2 + m y^2 – 2x-2y – 2 m = 0)

Ta có:

(-2a = -2 Rightarrow a = 1)

(-2b = -2 Rightarrow b = 1 )

⇒ Tọa độ chổ chính giữa $I$ là: $I(1; 1)$.

Bán kính $R$ là: (R^2 = a^2 + b^2 – c = 1^2 + 1^2 – ( – 2) = 4 Rightarrow R = sqrt 4 = 2)

b) Với đường tròn tất cả phương trình: (16x^2 + m 16y^2 + m 16x m - m 8y m - m 11 m = m 0)

Chia cả 2 vế đến $16$ ta có: ( x^2 + y^2 + x – 1 over 2y – 11 over 16 = 0)

(eqalign& – 2a = 1 Rightarrow a = – 1 over 2 cr và – 2b = – 1 over 2 Rightarrow b = 1 over 4 cr và Rightarrow Ileft( – 1 over 2;1 over 4 ight) cr )

Tọa độ chổ chính giữa $I$ là: $I(frac-12;frac14)$.

Bán kính $R$ là: (R^2 = a^2 + b^2 – c = left( – 1 over 2 ight)^2 + left( 1 over 4 ight)^2 – left( – 11 over 16 ight) = 1 Rightarrow R = sqrt 1 = 1)

c) Với đường tròn gồm phương trình là: (x^2 + m y^2 – m 4x m + m 6y m - m 3 m = m 0.)

(eqalign& – 2a = – 4 Rightarrow a = 2 cr & – 2b = 6 Rightarrow b = – 3 cr & Rightarrow Ileft( 2; – 3 ight) cr )

⇒ (R^2 = a^2 + b^2 – c = 2^2 + left( – 3 ight)^2 – left( – 3 ight) = 16 Rightarrow R = sqrt 16 = 4)

Vậy tọa độ trọng tâm là $I(2;-3)$, nửa đường kính là $R=4$.

2. Giải bài xích 2 trang 83 sgk Hình học tập 10

Lập phương trình mặt đường tròn ((C)) trong số trường vừa lòng sau:

a) ((C)) tất cả tâm (I(-2; 3)) và trải qua (M(2; -3));

b) ((C)) gồm tâm (I(-1; 2)) và tiếp xúc với mặt đường thẳng (d : x – 2y + 7 = 0);

c) ((C)) có 2 lần bán kính (AB) cùng với (A(1; 1)) với (B(7; 5)).

Bài giải:

a) Ta tìm chào bán kính.

Vì mặt đường tròn $(C)$ đi qua điểm $M$ nên $R=IM$

⇒ (R^2 = m IM^2 Rightarrow R^2 = m IM m = m left( 2 m + m 2 ight)^2 + m ( – 3 m – 3^2) m = m 52)

⇒ Phương trình con đường tròn ((C)) gồm tâm $I$, đi qua $M$ là:

(left( x m + 2 ight)^2 + m left( y m - m 3 ight)^2 = 52)

b) Đường tròn $(C)$ tiếp xúc với mặt đường thẳng (d) nên khoảng cách từ trọng tâm (I) tới con đường thẳng (d) bằng nửa đường kính đường tròn hay:

(d(I; d) = R)

Ta có: $d: x – 2y + 7 = 0, I(-1;2)$

⇒ khoảng cách từ $I$ đến $d$ là:

$d(I;d)=fracsqrt1^2+(-2)^2=frac2sqrt5$

⇒ ( R = d(I, d) = frac2sqrt5)

Phương trình đường tròn đề nghị tìm là:

(left( x m + 1 ight)^2 + m left( y m - m 2 ight)^2= left(frac2sqrt5 ight )^2)

( Leftrightarrow left( x m + 1 ight)^2 + m left( y m - m 2 ight)^2 = 4 over 5)

c) Đường tròn $(C)$ có 2 lần bán kính $AB$ ⇒ trọng điểm đường tròn $(C)$ là trung điểm của $AB$.

⇒ trọng điểm (I) là trung điểm của (AB), có tọa độ:

$left{eginmatrix x &= frac1+72=4\ y &= frac1+52=3 endmatrix ight.$

suy ra (I(4; 3))

Ta có: (AB = 2sqrt 13) suy ra ( R = sqrt 13)

Phương trình mặt đường tròn nên tìm là:

(left( x m – 4 m ight)^2 + m left( y m - m 3 ight)^2 = 13)

3. Giải bài bác 3 trang 84 sgk Hình học 10

Lập phương trình đường tròn trải qua ba điểm:

a) (A(1; 2); B(5; 2); C(1; -3))

b) (M(-2; 4); N(5; 5); P(6; -2))

Bài giải:

Sử dụng phương trình mặt đường tròn gồm dạng: (x^2+y^2-2 ax-2by +c = 0)

a) Đường tròn đi qua điểm (A(1; 2)) buộc phải ta có:

(1^2+ 2^2– 2a -4b + c = 0 Leftrightarrow 2a + 4b – c = 5)

Đường tròn trải qua điểm (B(5; 2)) cần ta có:

(5^2+ 2^2– 10a -4b + c = 0 Leftrightarrow 10a + 4b – c = 29)

Đường tròn trải qua điểm (C(1; -3)) bắt buộc ta có:

(1^2+ (-3)^2 – 2a + 6b + c = 0 Leftrightarrow 2a – 6b – c = 10)

Để search (a, b, c) ta giải hệ: (left{eginmatrix 2a + 4b- c = 5 , (1) và & \ 10a +4b – c= 29 , (2) & & \ 2a- 6b -c =10 , (3) & & endmatrix ight.)

Lấy $(1)-(3)$ ta được: $10b=-5 Leftrightarrow b=-0,5$

Láy $(2)-(1)$ ta được: $8a=24 Leftrightarrow a=3$

Thay $a,b$ vừa kiếm được vào $(1)$ ta có: $6-2-c=5 Leftrightarrow c=-1$

Giải hệ ta được: (left{ matrixa = 3 hfill cr b = – 0,5 hfill cr c = – 1 hfill cr ight.)

Phương trình con đường tròn đề xuất tìm là:

(x^2 + m y^2 – m 6x m + m y m – m 1 m = m 0 )

b) Đường tròn trải qua điểm (M(-2; 4)) đề xuất ta có:

((-2)^2+ 4^2+4a -8b + c = 0 Leftrightarrow 4a – 8b + c = -20, (4))

Đường tròn đi qua điểm (N(5; 5)) phải ta có:

(5^2+ 5^2– 10a -10b + c = 0 Leftrightarrow 10a +10b – c = 50, (5))

Đường tròn đi qua điểm (P(6; -2)) phải ta có:

(6^2+ (-2)^2 – 12a + 4b + c = 0 Leftrightarrow 12a – 4b – c = 40, (6))

Ta gồm hệ phương trình:

$$left{ matrix4a – 8b + c = – trăng tròn hfill cr 10a + 10b – c = 50 hfill cr 12a – 4b – c = 40 hfill cr ight. Leftrightarrow left{ matrixa = 2 hfill cr b = 1 hfill cr c = – đôi mươi hfill cr ight.$$

Phương trình mặt đường tròn trải qua ba điểm (M(-2; 4); N(5; 5); P(6; -2)) là:

(x^2+ y^2- 4x – 2y – trăng tròn = 0)

4. Giải bài 4 trang 84 sgk Hình học tập 10

Lập phương trình mặt đường tròn tiếp xúc với nhị trục tọa độ (Ox, Oy) và trải qua điểm (M(2 ; 1))

Bài giải:

Gọi $(C)$ là đường tròn cần tìm với trung ương $I(a;b)$, nửa đường kính $R$.

Vì $(C)$ tiếp xúc với nhì trục tọa độ nên tâm (I) của nó phải cách rất nhiều hai trục tọa độ.

⇒ $R=d(I;Ox)=d(I;Oy) Leftrightarrow fracsqrt1=fracasqrt1 Leftrightarrow |a|=|b|$

⇒ $a=b$ hoặc $a=-b$ (1)

Vì $(C)$ tiếp xúc 2 trục tọa độ đề xuất $(C)$ nằm trong 1 trong 4 góc phần tư. Vì chưng $(C)$ trải qua $M(2;1)$ nằm trong góc phần tư trước tiên nên $(C)$ phía bên trong góc phần tứ thứ nhất.

⇒ Tọa độ chổ chính giữa $I$ dương tức là: $a>0,b>0$ phối hợp (1) ⇒ $a=b$

Thay vào phương trình con đường tròn (C) ta có: $(x-a)^2+(y-a)^2=a^2$

mà $M(2;1)$ nằm trong $(C)$ đề xuất thay tọa độ $M$ vào phương trình $(C)$ ta có: $(2-a)^2+(1-a)^2=a^2$

$Leftrightarrow 4-4a+a^2+1-2a+a^2=a^2 Leftrightarrow a^2-6a+5=0 Leftrightarrow left< matrixa= hfill 1 cr a= hfill 5 cr ight.$

Phương trình mặt đường tròn đề nghị tìm là:

$(x-1)^2+(y-1)^2=1, (C_1)$

$(x-5)^2+(y-5)^2=25, (C_2)$

5. Giải bài xích 5 trang 84 sgk Hình học 10

Lập phương trình của mặt đường tròn xúc tiếp với những trục tọa độ và tất cả tâm ở trên đường thẳng (d : 4x – 2y – 8 = 0)

Bài giải:

Gọi $(C)$ là đường tròn yêu cầu tìm với trung tâm $I(a;b)$, nửa đường kính $R$.

Vì $(C)$ tiếp xúc với nhị trục tọa độ đề nghị tâm (I) của nó phải cách các hai trục tọa độ.

⇒ $R=d(I;Ox)=d(I;Oy) Leftrightarrow fracbsqrt1=fracsqrt1 Leftrightarrow |a|=|b|$

⇒ $a=b$ hoặc $a=-b$

♦ Trường đúng theo $a=b$ ⇒ Tọa độ $I(a;a)$

Vì $I(a;a)$ nằm trên phố thẳng (d : 4x – 2y – 8 = 0) đề xuất thay tọa độ $I$ vào $d$ ta có:

$4.a-2.a-8=0 Leftrightarrow 2a=8 Leftrightarrow a=4$

⇒ $I(4;4)$ và bán kính $R=4$

⇒ phương trình con đường tròn cần tìm:

$(x-4)^2+(y-4)^2=16, (C_1)$

♦ Trường hòa hợp $a=-b$ ⇒ Tọa độ $I(a;-a)$

Vì $I(a;-a)$ nằm trê tuyến phố thẳng (d : 4x – 2y – 8 = 0) yêu cầu thay tọa độ $I$ vào $d$ ta có:

$4.a+2.a-8=0 Leftrightarrow 6a=8 Leftrightarrow a=frac43$

⇒ $I(frac43;frac-43)$ và nửa đường kính $R=frac43$

⇒ phương trình con đường tròn đề xuất tìm:

$(x-frac43)^2+(y+frac43)^2=frac169, (C_2)$

6. Giải bài bác 6 trang 84 sgk Hình học tập 10

Cho đường tròn ((C)) gồm phương trình:

(x^2 + m y^2 – m 4x m + m 8y m – m 5 m = m 0)

a) tra cứu tọa độ trọng tâm và nửa đường kính của ((C))

b) Viết phương trình tiếp con đường với ((C)) trải qua điểm (A(-1; 0))

c) Viết phương trình tiếp tuyến với ((C)) vuông góc với con đường thẳng (3x – 4y + 5 = 0)

Bài giải:

a) (x^2 + m y^2 – m 4x m + m 8y m – m 5 m = m 0)

( Leftrightarrow x^2 – 2.x.2 + 2^2 + y^2 + 2.y.4 + 4^2 = 25 )

(Leftrightarrow left( x – 2 ight)^2 + left( y + 4 ight)^2 = 5^2)

Tâm (I(2 ; -4)), nửa đường kính (R = 5)

b) Phương trình $(C)$ là: (left( x – 2 ight)^2 + left( y + 4 ight)^2 = 5^2)

Thay tọa độ (A(-1 ; 0)) vào vế trái, ta tất cả :

((-1- 2 )^2 + (0 + 4)^2 = 3^2+4^2= 25)

Vậy (A(-1 ;0)) là vấn đề thuộc đường tròn $(C)$.

⇒ Tiếp tuyến đường với $(C)$ đi qua $A$ chính là tiếp tuyến với $(C)$ tại $A$.

Ta có: (overrightarrow IA ( – 3;4))

Phương trình tiếp đường với đường tròn tại (A) là:

(-3(x +1) +4(y -0) =0 Leftrightarrow 3x – 4y + 3 = 0)

c) Đường thẳng (d:3x – 4y + 5 = 0) bao gồm vectơ pháp con đường (overrightarrow n=(3;-4)) ⇒ $d$ có vectơ chỉ phương là (overrightarrow u=(4;3))

Theo giả thiết tiếp đường vuông góc với đường thẳng (d) đề xuất tiếp tuyến bao gồm vectơ pháp tuyến chính là vectơ chỉ phương của $d$

⇒ Vectơ pháp tuyến đường của tiếp tuyến đường là: (overrightarrow n’=(4;3))

Phương trình tiếp tuyến tất cả dạng là: (4x+3y+c=0).

Xem thêm: Cách Tính Mật Độ Dân Số Là Gì? Cách Tính Mật Độ Dân Số

Khoảng cách từ chổ chính giữa (I) đến tiếp con đường bằng nửa đường kính (R=5) vì vậy ta có:

(4.2 + 3.( – 4) + c over sqrt 4^2 + 3^2 = 5 Leftrightarrow |c – 4| = 25)

(Leftrightarrow left< matrixc – 4 = 25 hfill crc – 4 = – 25 hfill cr ight. Leftrightarrow left< matrixc = 29 hfill crc = – 21 hfill cr ight.)

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến vừa lòng yêu cầu bài toán là:

(4x+3y+29=0) với (4x+3y-21=0).

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc chúng ta làm bài tốt cùng giải bài bác tập sgk toán lớp 10 với giải bài bác 1 2 3 4 5 6 trang 83 84 sgk Hình học 10!