Hướng dẫn giải bài §1. Phương pháp quy hấp thụ toán học, Chương III. Dãy số. Cung cấp số cùng và cấp số nhân, sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. Nội dung bài xích giải bài xích 1 2 3 4 5 trang 82 83 sgk Đại số và Giải tích 11 bao hàm tổng thích hợp công thức, lý thuyết, phương thức giải bài xích tập đại số cùng giải tích tất cả trong SGK để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 11.

Bạn đang xem: Bài 1 trang 82 sgk toán 11

Lý thuyết

Phương pháp quy hấp thụ toán học

Để minh chứng một mệnh đề (P(n)) là đúng với đa số (n in mathbbN^*), ta hay dùng phương thức quy hấp thụ toán học, được triển khai theo hai cách như sau:

– cách 1 (bước cơ sở): kiểm soát mệnh đề (P(n)) đúng với (n = 1).

– cách 2 ( cách quy nạp): trả thiết mệnh đề (P(n)) đúng với một số tự nhiên bất kỳ (n = k, (k ≥ 1)) (ta call là trả thiết quy nạp) và minh chứng rằng nó cũng đúng với (n = k + 1).

Khi đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, ta kết luận mệnh đề (P(n)) đùng với đa số (n in mathbbN^*).

Trong trường vừa lòng phải minh chứng một mệnh đề (P(n)) đúng với đa số số tự nhiên và thoải mái (n ≥ p) ((p) là số tự nhiên) thì:

Ở bước 1, ta soát sổ mệnh đề (P(n)) đúng cùng với (n = p).

Ở cách 2, ta mang thiết mệnh đề (P(n)) đúng với một vài tự nhiên bất cứ (n = k, (k ≥ p)) và chứng minh rằng nó cũng đúng với (n = k + 1).

Phép test với một số trong những hữu hạn số tự nhiên và thoải mái tuy chưa hẳn là minh chứng nhưng có thể chấp nhận được ta dự kiến được kết quả. Công dụng này chỉ nên giá thuyết và để minh chứng ta rất có thể dùng phương pháp quy hấp thụ toán học.

Một số bài toán thường gặp:

chứng tỏ các mệnh đề toán học tương quan đến lập luận lôgic.

Chứng minh những đẳng thức, bất đẳng thức.

Dự đoán hiệu quả và triệu chứng minh.

Dưới đó là phần phía dẫn trả lời các câu hỏi và bài tập trong phần buổi giao lưu của học sinh sgk Đại số và Giải tích 11.

Câu hỏi

1. Trả lời thắc mắc 1 trang 80 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Xét nhị mệnh đề chứa trở nên $P(n)$: “3n n > nn với $n ∈ N*$.

a) cùng với $n = 1, 2, 3, 4, 5$ thì $P(n), Q(n)$ đúng tốt sai?

b) với mọi $n ∈ N*$ thì $P(n), Q(n)$ đúng hay sai?

Trả lời:

a) với (n = 1)thì (Pleft( 1 ight):”3^1 1”) đúng.

Với (n = 2) thì (Pleft( 2 ight):”3^2 2”) đúng.

Với (n = 3) thì (Pleft( 3 ight):”3^3 3”) đúng.

Với (n = 4) thì (Pleft( 4 ight):”3^4 4”) đúng.

Với (n = 5) thì (Pleft( 5 ight):”3^5 5”) đúng.

b) với (Pleft( n ight)): bởi với (n = 5) thì (Pleft( n ight)) sai cần (Pleft( n ight)) ko đúng với mọi (n in mathbbN^*).

Với (Qleft( n ight)): Quan ngay cạnh (2^n) ta thấy (2^n) tăng rất nhanh so với (n) buộc phải (2^n > n) với mọi (n in mathbbN^*) giỏi (Qleft( n ight)) đúng với (n in mathbbN^*)

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 81 sgk Đại số với Giải tích 11

Chứng minh rằng với $n ∈ N*$ thì

(displaystyle 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1) over 2)

Trả lời:

– khi (n = 1, VT = 1)

(displaystyle VP = 1(1 + 1) over 2 = 1)

– trả sử đẳng thức đúng cùng với (n = k ≥ 1), nghĩa là:

(displaystyleS_k = 1 + 2 + 3 + … + k = k(k + 1) over 2)

Ta phải chứng tỏ rằng đẳng thức cũng giống với (n = k + 1), tức là:

(displaystyle S_k + 1 = 1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1)) (displaystyle = (k + 1)(k + 2) over 2)

Thật vậy, từ mang thiết quy nạp ta có:

(displaystyleS_k + 1 = S_k + (k + 1) ) (displaystyle = k(k + 1) over 2 + (k + 1))

(displaystyle = k(k + 1) + 2(k + 1) over 2) (displaystyle =(k + 1)(k + 2) over 2)

Vậy đẳng thức đúng với mọi n ∈ N*

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 82 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Cho nhì số 3n và 8n với $n ∈ N*$.

a) đối chiếu 3n với 8n khi $n = 1, 2, 3, 4, 5$.

b) Dự đoán tác dụng tổng quát mắng và chứng minh bằng phương thức quy nạp.

Trả lời:

a) Ta có: Với:

$n = 1 ⇒$ 31 $= 3 2 $= 9 3 $= 27 > 24 = 8.3$

$n = 4 ⇒$ 34 $= 81 > 32 = 8.4$

$n = 5 ⇒$ 35 $= 243 > 40 = 8.5$

b) Dự đoán công dụng tổng quát: 3n > 8n với đa số $n ≥ 3$

– cùng với $n = 3$, bất đẳng thức đúng.

– giả sử bất đẳng thức đúng với $n = k ≥ 3$, nghĩa là: 3k $> 8k$

Ta phải chứng tỏ rằng bất đẳng thức cũng như với $n = k + 1$, tức là: 3(k + 1) $> 8(k + 1)$

Thật vậy, từ đưa thiết quy hấp thụ ta có:

3(k + 1) = 3k.3 $> 8k.3 = 24k = 8k + 16k$

$k ≥ 3 ⇒ 16k ≥ 16.3 = 48 > 8$

Suy ra: 3(k + 1) $> 8k + 8 = 8(k + 1)$

Vậy bất đẳng thức đúng với mọi $n ≥ 3.$

Dưới đây là phần khuyên bảo giải bài 1 2 3 4 5 trang 82 83 sgk Đại số và Giải tích 11. Chúng ta hãy gọi kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

circologiannibrera.com reviews với các bạn đầy đủ cách thức giải bài bác tập đại số với giải tích 11 kèm bài giải bỏ ra tiết bài 1 2 3 4 5 trang 82 83 sgk Đại số với Giải tích 11 của bài xích §1. Phương thức quy nạp toán học trong Chương III. Dãy số. Cấp số cùng và cấp cho số nhân cho các bạn tham khảo. Nội dung cụ thể bài giải từng bài xích tập các bạn xem bên dưới đây:

*
Giải bài xích 1 2 3 4 5 trang 82 83 sgk Đại số với Giải tích 11

1. Giải bài 1 trang 82 sgk Đại số và Giải tích 11

Chứng minh rằng cùng với n Є N*, ta có đẳng thức:

a) $2 + 5+ 8+…. + 3n – 1 =$ ( fracn(3n+1)2);

b) ( frac12+frac14+frac18+…+frac12^n=frac2^n-12^n);

c) 12 + 22 + 32 +….+ n2 = ( fracn(n+1)(2n+1)6).

Bài giải:

a) đưa sử đẳng thức a) đúng với $n = k ≥ 1,$

Sk = $2 + 5 + 8 + …+ 3k – 1 $= ( frack(3k+1)2)

Xét với $n = k + 1$, ta có:

Sk+1 $= 2 + 5 + 8 + ….+ 3k -1 + (3(k + 1) – 1) $= ( frac(k+1)(3(k+1)+1)2)

Sk+1 = Sk + $3k + 2 = frack(3k+1)2 + 3k + 2 $= ( frac3k^2+k+6k+42)

(=frac3(k^2+2k+1)+k+12 = frac(k+1)(3(k+1)+1)2) (đpcm)

Theo phương thức quy hấp thụ ⇒ hệ thức đúng với mọi n Є N*

b) cùng với $n = 1, 2$ về của hệ thức bằng nhau.

Đặt vế trái bởi Sn.

Giả sử $n = k ≥ 1$, tức là:

( S_k=frac12+frac14+frac18+…+frac12^k=frac2^k-12^k)

Xét với $n = k + 1$ ta có

( S_k+1=S_k+frac12^k+1=frac2^k-12^k+frac12^k+1)

= ( frac2^k+1-2+12^k+1=frac2^k+1-12^k+1) (đpcm)

⇒ hệ thức b) đúng với đa số n ε N*

c) cùng với $n = 1$, vế trái bởi về phải. Đặt vế trái bởi Sn.

Giả sử hệ thức đúng với $n = k ≥ 1$, hay

Sk = 12 + 22 + 32 + …+ k2 = ( frack(k+1)(2k+1)6)

Xét $n = k + 1$ ta có

Sk+1 = Sk + (k + 1)2 = ( frack(k+1)(2k+1)6+(k+1)^2) = (k + 1).( frack(2k+1)+6(k+1)6) = (k + 1)( frac2k^2+k+6k+66)

( =frac(k+1)(2k(k+2)+3)+3(k+2)6=frac(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)6) (đpcm)

⇒ hệ thức c) đúng với tất cả n ε N*

2. Giải bài bác 2 trang 82 sgk Đại số và Giải tích 11

Chứng minh rằng với n ε N* ta luôn luôn có:

a) n3 + 3n2 $+ 5n$ phân tách hết cho $3$;

b) 4n $+ 15n – 1$ phân chia hết cho $9$;

c) n3 $+ 11n$ phân tách hết mang đến $6$.

Bài giải:

a) Đặt Sn = n3 + 3n2 + 5n

Với $n = 1$ thì S1 $= 9$ chia hết mang đến $3$

Giả sử với $n = k ≥ 1$, có Sk = (k3 + 3k2 + 5k) ( vdots) $3$

Xét với $n = k + 1$

Sk+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1)

= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5

= k3 + 3k2 + 5k + 3k2 + 9k + 9

hay Sk+1 = Sk + 3(k2 + 3k + 3)

mà Sk ( vdots) 3, 3(k2 + 3k + 3) ( vdots) 3 yêu cầu Sk+1 ( vdots) 3.

Vậy (n3 + 3n2 + 5n) ( vdots) $3$ với đa số n ε N* .

b) Đặt Sn = 4n $+ 15n – 1$

Với $n = 1$, thì S1 ( vdots) $9$

Giả sử với $n = k ≥ 1$ có Sk= 4k $+ 15k – 1$ phân tách hết đến $9$.

Xét cùng với $n = k + 1$

Sk+1 = 4k + 1 + 15(k + 1) – 1

= 4(4k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4Sk – 9(5k – 2)

mà Sk ( vdots) 9 với 9(5k – 2) ( vdots) 9 ⇒ Sk+1 ( vdots) $9$

Vậy (4n + 15n – 1) ( vdots) 9 với đa số n ε N*

c) Đặt Sn = n3 $+ 11n$

Với $n = 1$ thì S1 ( vdots) $6$

Giả sử cùng với $n = k ≥ 1$ bao gồm Sk = k3 + 11k ( vdots) $6$

Xét với $n = k + 1$ ta có:

Sk+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) = k3 + 3k + 3k + 1 + 11k + 11

= ( k3 + 11k) + 3(k2 + k + 4) = Sk + 3(k2 + k + 4)

mà Sk ( vdots) 6, mặt khác k2 + k + 4 = k(k + 1) + một là số chẵn cần 3(k2 + k + 4) ( vdots) 6

⇒ Sk+1 ( vdots) $6$

Vậy n3 $+ 11n$ phân chia hết mang lại 6 với tất cả n ε N*

3. Giải bài 3 trang 82 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Chứng minh rằng với tất cả số tự nhiên và thoải mái $n ≥ 2$, ta có các bất đẳng thức:

a) 3n > 3n + 1;

b) 2n + 1 > 2n + 3

Bài giải:

a) cùng với $n = 2$ ta thấy bất đẳng thức đúng

Giả sử bất đẳng thức đúng với $n = k ≥ 2$, giỏi 3k > 3k + 1 (*)

Nhân nhì vế của (*) với 3, ta được:

3k + 1 > 9k + 3 ⇔ 3k + 1 > 3k + 4 + 6k -1.

Vì 6k – 1 > 0 ⇒ 3k + 1 > 3k + 4 tốt 3k + 1 > 3(k + 1) + 1.

⇒ bất đẳng thức đúng cùng với n = k + 1.

Vậy 3n $> 3n + 1$ với tất cả số tự nhiên $n ≥ 2.$

b) Ta thấy với $n = 2$ thì bất đẳng thức đúng

Giả sử bất đẳng thức đúng cùng với $n = k ≥ 2$ hay 2k + 1 > 2k + 3 (**)

Nhân nhì vế của bất đẳng thức (**) cùng với 2, ta được:

2k + 2 > 4k + 6 k + 2 > 2k +5 + 2k + 1.

Vì 2k + 1> 0 đề nghị 2k + 2 > 2k + 5

Vậy 2n + 1 > 2n + 3 với mọi số tự nhiên n ≥ 2.

4. Giải bài bác 4 trang 83 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Cho tổng (S_n=frac11.2+frac12.3+…+frac1n(n+1))với n ε N* .

a) Tính (S_1, S_2, S_3);

b) dự kiến công thức tính tổng (S_n) và minh chứng bằng quy nạp.

Bài giải:

a) Ta có: (S_1=frac11.2=frac12)

(S_2=frac11.2+frac12.3=frac23)

(S_3=frac11.2+frac12.3+frac13.4=frac34)

b) Từ câu a) ta dự đoán (S_n=fracnn+1 (1)), với mọi n ε N* .

Ta sẽ chứng tỏ đẳng thức (1) bằng cách thức quy nạp

Theo a) ta thấy (1) đúng lúc n = 1, n=2,n=3.

Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là

(S_k=frac11.2+frac12.3+…+frac1k(k+1)=frackk+1) (2)

Ta phải chứng minh (1) đúng cho đến khi n = k + 1, tức là

(S_k+1=frack+1k+2) (3)

Thật vậy ta có:

(S_k+1=left < frac11.2+ frac12.3+…+ frac1k.(k+1) ight >+ frac1(k+1)(k+2))

(=S_k+frac1(k+1)(k+2)=frackk+1+frac1(k+1)(k+2)= frack^2+2k+1(k+1)(k+2))

(=frack+1k+2)

⇒ (3) đúng ⇒ (đpcm)

5. Giải bài 5 trang 83 sgk Đại số và Giải tích 11

Chứng minh rằng số đường chéo cánh của một nhiều giác lồi $n$ cạnh là $fracn(n-3)2$

Bài giải:

♦ phương pháp 1:

Số đoạn trực tiếp (cả cạnh và con đường chéo) vào một đa giác lồi n cạnh là $C_n^2$ đoạn thẳng. Suy ra số đường chéo cánh của nhiều giác lồi tất cả n cạnh là:

*

♦ phương pháp 2: Ta chứng minh khẳng định đúng với mọi (n inmathbb N^*), (n ≥ 4).

Với (n = 4), ta gồm tứ giác cho nên nó có hai đường chéo.

Mặt khác nắm (n = 4) vào công thức, ta gồm số đường chéo của tứ giác theo cách làm là: (4(4 – 3) over 2 = 2)

Vậy xác định đúng cùng với (n= 4).

Giả sử khẳng định đúng cùng với (n = k ≥ 4), có nghĩa là đa giác lồi (k) cạnh tất cả số đường chéo cánh là (k(k – 3) over 2)

Ta phải chứng minh khẳng định đúng cùng với (n = k + 1).Nghĩa là phải minh chứng đa giác lồi (k + 1) cạnh gồm số đường chéo là ((k + 1)((k + 1) – 3) over 2)Xét nhiều giác lồi (k + 1) cạnhNối (A_1) cùng (A_k), ta được nhiều giác (k) cạnh (A_1A_2…A_k) gồm (k(k – 3) over 2) đường chéo (giả thiết quy nạp).Nối (A_k+1) với những đỉnh (A_1,A_2,…,A_k-1), ta được thêm (k -2) đường chéo, trong khi (A_1A_k) cũng là một trong đường chéo.

Xem thêm: Sách Giáo Khoa Toán Lớp 10 Phần Hình Học, Sách Giáo Khoa Hình Học Lớp 10 Cơ Bản

Vậy số đường chéo cánh của nhiều giác (k + 1) cạnh là

(k(k – 3) over 2+ k – 2 + 1 =k^2 – k – 2 over 2 = (k + 1)((k + 1) – 3) over 2)

Như vậy, xác minh cũng đúng với nhiều giác (k + 1) cạnh

Vậy câu hỏi đã được bệnh minh.

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc các bạn làm bài xuất sắc cùng giải bài xích tập sgk toán lớp 11 với giải bài bác 1 2 3 4 5 trang 82 83 sgk Đại số với Giải tích 11!