Hướng dẫn giải bài bác §1. Giới hạn của hàng số, Chương IV. Giới hạn, sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. Nội dung bài bác giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 121 122 sgk Đại số và Giải tích 11 bao gồm tổng hòa hợp công thức, lý thuyết, phương thức giải bài xích tập đại số và giải tích tất cả trong SGK sẽ giúp đỡ các em học viên học giỏi môn toán lớp 11.

Bạn đang xem: Bài 1 trang 121 sgk toán 11


Lý thuyết

1. Số lượng giới hạn hữu hạn của hàng số

( ullet ) dãy số ((u_n)) được điện thoại tư vấn là có giới hạn bằng 0 lúc n tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số dương nhỏ tuổi tuỳ ý cho trước, các số hạng của hàng số , kể từ một số hạng nào kia trở đi, đều phải có giá tri xuất xắc dối bé dại hơn số dương đó. Kí hiệu: (mathop lim limits_x o + infty u_n = 0) .Hay là: (mathop lim limits_x o 0 u_n = 0) khi và chỉ còn khi với đa số (varepsilon > 0) nhỏ tuổi tùy ý, luôn tồn tại số thoải mái và tự nhiên (n_0) sao cho: (left| u_n ight| n_0).

( ullet )(mathop lim limits_x o + infty u_n = a Leftrightarrow mathop lim limits_x o + infty left( u_n – a ight) = 0), tức là: với mọi (varepsilon > 0) bé dại tùy ý, luôn tồn tại số thoải mái và tự nhiên (n_0) sao để cho (left| u_n – a ight| n_0).

Dãy số (un) có giới hạn là số thực điện thoại tư vấn là hàng số có giới hạn hữu hạn.

Một số giới hạn đặc biệt:

(ullet ) (lim frac1n^k = 0) với (k in mathbbN*)

(ullet ) giả dụ (left| q ight| 2. Một vài định lí về giới hạn

Định lí 1: Nếu dãy số (un) thỏa (left| u_n ight|



Biểu diễn ((u_n)) dưới dạng khai triển:

(1,,1 over 2;,1 over 3;,1 over 4;,1 over 5;…..;1 over 100)

Biểu diễn (un) bên trên trục số (h.46):

*

a) nhấn xét xem khoảng cách từ un tới 0 thay đổi như nuốm nào lúc n trở buộc phải rất lớn.

b) bước đầu từ số hạng un nào của hàng số thì khoảng cách từ un mang lại 0 nhỏ dại hơn $0,01? 0,001$?

Trả lời:


a) khoảng cách từ (u_n) cho tới 0 trở buộc phải rất nhỏ dại (gần bởi 0) lúc n trở phải rất lớn

b) Ta có: (dfrac1n 100).

Do đó từ số hạng thứ (101) thì khoảng cách từ (u_n) đến (0) đều nhỏ dại hơn (0,01).

(dfrac1n 1000).

Do đó từ số hạng máy (1001) thì khoảng cách từ (u_n) cho (0) đều bé dại hơn (0,001).

2. Trả lời thắc mắc 2 trang 117 sgk Đại số với Giải tích 11

Có những tờ giấy ck nhau, mỗi tờ có bề dày là $0,1 mm$. Ta xếp ông chồng liên tiếp tờ này lên tờ khác (h.48). Trả sử hoàn toàn có thể thực hiện việc xếp giấy vậy nên một giải pháp vô hạn.

*

Gọi u1 là bề dày của một tờ giấy, u2 là bề dày của một xếp giấy có hai tờ, u3 là bề dày của một xếp giấy gồm ba tờ, …, un là bề dày của một xếp giấy bao gồm n tờ. Liên tiếp như vậy t được hàng số vô hạn (un).

Bảng sau đây cho biết thêm bề dày (tính theo mm) của một số ông chồng giấy.

*

a) Quan tiếp giáp bảng trên và nhận xét về quý giá của un khi $n$ tăng thêm vô hạn.

b) cùng với $n$ ra sao thì ta có được những ck giấy bao gồm về dày béo hơn khoảng cách từ Trái Đất tới phương diện Trăng? (Cho biết khoảng cách này ở 1 thời điểm xác minh là $384000 km$ giỏi 384.109 mm)

Trả lời:

a) quý hiếm của un rất to lớn khi $n$ tăng thêm vô hạn.

b) Ta có: (u_n > 384.10^9) ( Leftrightarrow dfracn10 > 384.10^9) ( Leftrightarrow n > 384.10^10).

Vậy đề nghị (n > 384.10^10) tờ giấy để đã có được những ông chồng giấy gồm về dày to hơn khoảng cách từ Trái Đất tới phương diện Trăng.

Dưới đây là phần giải đáp giải bài xích 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 121 122 sgk Đại số và Giải tích 11. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước lúc giải nhé!

Bài tập

circologiannibrera.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài bác tập đại số với giải tích 11 kèm bài giải bỏ ra tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 121 122 sgk Đại số và Giải tích 11 của bài bác §1. Giới hạn của dãy số vào Chương IV. Số lượng giới hạn cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

*
Giải bài xích 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 121 122 sgk Đại số cùng Giải tích 11

1. Giải bài 1 trang 121 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Có (1 kg) chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau đó 1 khoảng thời hạn (T = 24 000) năm thì một ít số chất phóng xạ này bị phân tung thành chất khác không ô nhiễm đối với sức khỏe của con bạn ((T) được call là chu kì buôn bán rã).

Gọi ((u_n)) là trọng lượng chất phóng xạ còn còn lại sau chu kì máy (n).

a) tìm số hạng tổng quát (u_n) của hàng số ((u_n)).

b) minh chứng rằng ((u_n)) có giới hạn là (0).

c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số trong những năm nào đó khối lượng chất phóng xạ vẫn cho lúc đầu không còn ô nhiễm đối với bé người, cho thấy chất phóng xạ này đã không độc hại nữa nếu cân nặng chất phóng xạ còn lại nhỏ nhiều hơn (10^-6g).

Bài giải:

a) Ta có: (u_1=frac12); (u_2= frac14); (u_3=frac18); … .

Từ đó ta dự kiến công thức (u_n=frac12^n) (forall n ge 1).

Điều này chứng tỏ đơn giản bởi quy nạp.

Hiển nhiên cách làm trên đúng cùng với (n=1).

Giả sử bí quyết đúng với đa số (k ge 1), tức là có (u_k=frac 1 2^k), ta chứng tỏ công thức đó đúng với mọi (n=k+1), tức là cần triệu chứng minh: (u_k+1=frac 1 2^k+1).

Ta bao gồm (u_k + 1 = fracu_k2 = frac12^k:2 = frac12^k.frac12 = frac12^k + 1).

Vậy (u_n = frac12^n,,forall n in N^*).

b) (lim u_n = lim left( 1 over 2 ight)^n = 0).

c) Đổi (10^-6g = frac110^6 . frac110^3kg = frac110^9 kg).

Muốn gồm (u_n= frac12^n) 10^9). Suy ra (n_0= 30). Nói phương pháp khác, sau chu kì vật dụng (30) (nghĩa là sau (30.24000 = 720000) (năm)), họ không còn lo ngại về sự độc hại của cân nặng chất phóng xạ còn lại.

2. Giải bài bác 2 trang 121 sgk Đại số và Giải tích 11

Biết hàng số ((u_n)) thỏa mãn nhu cầu (|u_n-1| lim frac1n^3 = 0 Rightarrow lim left| u_n – 1 ight| le 0\left| u_n – 1 ight| ge 0 Rightarrow lim left| u_n – 1 ight| ge 0endarray ight. ) (Rightarrow lim left| u_n – 1 ight| = 0 Leftrightarrow lim u_n = 1)

3. Giải bài bác 3 trang 121 sgk Đại số với Giải tích 11

Tìm giới hạn sau:

a) (lim frac6n – 13n +2);

b) (lim frac3n^2+n-52n^2+1);

c) (lim frac3^n+5.4^n4^n+2^n);

d) (limfracsqrt9n^2-n+14n -2).

Bài giải:

Ta có:

a) (lim frac6n – 13n +2)

(= limfrac6 – frac1n3 +frac2n) = (frac63 = 2).

b) (lim frac3n^2+n-52n^2+1)

( = lim frac3 +frac1n-frac5n^22+frac1n^2= frac32).

c) (lim frac3^n+5.4^n4^n+2^n)

(= lim fracleft( 3 over 4 ight)^n+51+left( 1 over 2 ight)^n=frac51) = 5.

d) (lim fracsqrt9n^2-n+14n -2)

= (lim fracsqrtn^2left( 9 – 1 over n + 1 over n^2 ight)n(4-frac2n))

= (lim fracsqrt9-frac1n+frac1n^24-frac2n)

=(fracsqrt94)= (frac34).

4. Giải bài 4 trang 122 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Để trang trí cho căn hộ chung cư cao cấp của mình, chú chuột Mickey ra quyết định tô màu một miếng bìa hình vuông vắn cạnh bằng (1). Nó tô màu xám những hình vuông nhỏ dại được lưu lại (1, 2, 3, …, n, …) trong đó cạnh của hình vuông vắn kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông vắn trước đó (h.51).

*

Giả sử các bước tô màu sắc của Mickey hoàn toàn có thể tiến ra vô hạn.

a) điện thoại tư vấn (u_n) là diện tích của hình vuông vắn màu xám đồ vật (n). Tính (u_1, u_2, u_3) cùng (u_n).

b) Tính (lim S_n) với (S_n= u_1 + u_2 + u_3 + … + u_n)

Bài giải:

a) Hình vuông thứ nhất có cạnh bởi (frac12) nên

(u_1 =(frac12))2 = (frac14).

Hình vuông vật dụng hai gồm cạnh bằng (frac14) buộc phải (u_2 = left( 1 over 4 ight)^2 = 1 over 4^2).

Hình vuông thứ cha có cạnh bằng (frac18) đề xuất (u_3 = left( 1 over 8 ight)^2 = 1 over 4^3)

Tương tự, ta tất cả (u_n=frac14^n)

b) dãy số ((u_n)) là một trong cặp số nhân lùi vô hạn cùng với (u_1=frac14) cùng (q = frac14). Bởi vì đó

(lim S_n=fracu_11-q= fracfrac141-frac14=frac13).

5. Giải bài bác 5 trang 122 sgk Đại số với Giải tích 11

Tính tổng (S = -1 + frac110- frac110^2 + … + frac(-1)^n10^n-1+ …)

Bài giải:

Các số hạng tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn cùng với (u_1 = – 1) với (q = – 1 over 10)

Vậy (S = -1 +frac110 – frac110^2+ … + frac(-1)^n10^n-1 + … = fracu_11-q = frac-11 – (-frac110) = frac-1011).

6. Giải bài bác 6 trang 122 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Cho số thập phân vô hạn tuần trả (a = 1, 020 020 …) (chu kì là (02)). Hãy viết a dưới dạng một phân số.

Bài giải:

Ta tất cả (a = 1, 020 020 … = 1+ frac2100 + frac2100^2 + …+ frac2100^n+ …)

(= 1 + fracfrac21001-frac1100=1 + frac299=frac10199.)

Vì (frac2100), (frac2100^2), …, (frac2100^n), … là 1 cấp số nhân lùi vô hạn có: (u_1=frac2100), q = (frac1100).

7. Giải bài bác 7 trang 122 sgk Đại số và Giải tích 11

Tính những giới hạn sau:

a) (lim(n^3 + m 2n^2- m n m + m 1));

b) (lim m ( – n^2 + m 5n m - m 2));

c) (lim (sqrtn^2-n- n));

d) (lim (sqrtn^2-n + n)).

Bài giải:

Ta có:

a) (lim(n^3 + m 2n^2- m n m + m 1)= lim n^3(1 + frac2n-frac1n^2+frac1n^3) = +∞)

b) (lim m ( – n^2 + m 5n m - m 2) = lim n^2 ( -1 + frac5n-frac2n^2) = -∞)

c) (lim (sqrtn^2-n – n) = lim frac(sqrtn^2-n-n)(sqrtn^2-n+n)sqrtn^2-n+n)

(= lim fracn^2-n-n^2sqrtn^2-n+n = lim frac-nsqrtn^2left( 1 – 1 over n ight)+ n = lim frac-1sqrt1-frac1n+1 = frac-12).

d) (lim (sqrtn^2-n + n) = lim left( sqrt n^2left( 1 – 1 over n ight) + n ight) )

(= lim n.left( sqrt 1 – 1 over n + 1 ight)= +∞).

8. Giải bài bác 8 trang 122 sgk Đại số và Giải tích 11

Cho hai dãy số ((u_n)) và ((v_n)). Biết (lim u_n= 3), (lim v_n= +∞).

Tính những giới hạn:

a) (lim frac3u_n-1u_n+ 1;)

b) (lim fracv_n+ 2v^2_n-1).

Xem thêm: Have A Look Là Gì? Take A Look Là Gì ? Take A Look At This! » Tiếng Anh 24H

Bài giải:

Ta có:

a) (lim frac3u_n-1u_n+ 1= frac3.3-13+ 1 = 2);

b) (lim fracv_n+ 2v^2_n-1= fracfrac1v_n+frac2v^2_n1-frac1v^2_n = 0).

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc chúng ta làm bài xuất sắc cùng giải bài xích tập sgk toán lớp 11 cùng với giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 121 122 sgk Đại số cùng Giải tích 11!