Hướng dẫn giải bài §3. Đường trực tiếp vuông góc với phương diện phẳng, Chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ giới tính vuông góc trong ko gian, sách giáo khoa Hình học 11. Nội dung bài bác giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 104 105 sgk Hình học tập 11 bao gồm tổng đúng theo công thức, lý thuyết, phương thức giải bài xích tập hình học gồm trong SGK để giúp đỡ các em học sinh học xuất sắc môn toán lớp 11.

Bạn đang xem: Bài 1 trang 104 sgk toán hình 11


Lý thuyết

1. Định nghĩa

Đường thẳng $a$ được điện thoại tư vấn là vuông góc với phương diện phẳng ((alpha)) nếu a vuông góc với đa số đường trực tiếp $a$ phía bên trong mặt phẳng ((alpha)).

Kí hiệu: (a ot left ( alpha ight ))

*

Ta có: (a ot mp(alpha) Leftrightarrow a ot c,forall c subset (alpha))

2. Điều kiện để mặt đường thẳng vuông góc với phương diện phẳng

Định lí: Nếu một mặt đường thẳng vuông góc với hai tuyến đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một khía cạnh phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

*

Hệ quả: Nếu một mặt đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ bố của tam giác đó.

3. Tính chất

Tính hóa học 1: Có độc nhất một khía cạnh phẳng đi qua 1 điểm mang đến trước cùng vuông góc với một đường thẳng mang lại trước.

*

Tính chất 2: Có độc nhất vô nhị một đường thẳng đi qua một điểm mang đến trước và vuông góc cùng với một mặt phẳng mang đến trước.

*

4. Liên hệ giữa quan lại hệ tuy nhiên song cùng quan hệ vuông góc của mặt đường thẳng và mặt phẳng

Tính hóa học 1: Cho hai tuyến đường thẳng song song. Phương diện phẳng như thế nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với mặt đường thẳng kia.

(left. eginarrayl a//b\ left( alpha ight) ot a endarray ight} Rightarrow left( alpha ight) ot b)


Hai mặt đường thẳng phân biệt cùng vuông góc cùng với một khía cạnh phẳng thì tuy nhiên song với nhau.

(left. eginarrayl a ot (alpha )\ b ot (alpha )\ a e b endarray ight} Rightarrow a//b)

*

Tính chất 2: Cho nhì mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với phương diện phẳng kia.

(left. eginarrayl a ot (alpha )\ left( alpha ight)//left( eta ight) endarray ight} Rightarrow left( alpha ight) ot left( eta ight))

Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc cùng với một đường thẳng thì song song với nhau.

(left. eginarrayl a ot (alpha )\ a ot left( eta ight)\ left( alpha ight) e left( eta ight) endarray ight} Rightarrow left( alpha ight)//left( eta ight))

*

Tính chất 3: Cho đường thẳng a và mặt phẳng (left ( alpha ight )) tuy vậy song với nhau. Đường thẳng làm sao vuông góc với (left ( alpha ight )) thì cũng vuông góc với a.

(left. eginarrayl a//(alpha )\ b ot left( alpha ight) endarray ight} Rightarrow b ot a)


Nếu một mặt đường thẳng cùng một khía cạnh phẳng cùng vuông góc cùng với một đường thẳng khác thì chúng song song cùng với nhau.

(left. eginarrayl a ot b\ b ot left( alpha ight)\ a otsubset left( alpha ight) endarray ight} Rightarrow a//left( alpha ight))

*

5. Phép chiếu vuông góc và định lí tía đường vuông góc


Định nghĩa: Phép chiếu tuy nhiên song lên phương diện phẳng (P) theo phương l vuông góc với mặt phẳng (P) điện thoại tư vấn là phép chiếu vuông góc lên phương diện phẳng (P).

Định lí bố đường vuông góc: Cho mặt đường thẳng d phía trong mặt phẳng (left ( alpha ight )) và b là mặt đường thẳng ko thuộc (left ( alpha ight )) đôi khi không vuông góc cùng với (left ( alpha ight )). Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (left ( alpha ight )). Kho đó a vuông góc cùng với b khi và chỉ khi a vuông góc cùng với b’.

*

6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Góc giữa con đường thẳng d không vuông góc với khía cạnh phẳng (left ( alpha ight )) là góc thân d và hình chiếu d’ của chính nó trên mặt phẳng (left ( alpha ight )).

*

Đặc biệt: ví như d vuông góc với mặt phẳng (left ( alpha ight )) thì ta bảo rằng góc giữa đường thẳng d với mặt phẳng (left ( alpha ight )) là 900.


Dưới đây là phần hướng dẫn trả lời các thắc mắc và bài tập vào mục hoạt động vui chơi của học sinh trên lớp sgk Hình học 11.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 100 sgk Hình học tập 11

Muốn chứng tỏ đường thẳng $d$ vuông góc cùng với một khía cạnh phẳng $(α)$, người ta yêu cầu làm như thế nào?

Trả lời:

Muốn chứng tỏ đường trực tiếp $d$ vuông góc cùng với một khía cạnh phẳng $(α)$, tín đồ ta phải chứng tỏ $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng $(α)$.

2. Trả lời thắc mắc 2 trang 100 sgk Hình học 11

Cho hai tuyến đường thẳng $a$ và $b$ song song với nhau. Một mặt đường thẳng $d$ vuông góc với $a$ với $b$. Lúc đó đường trực tiếp $d$ gồm vuông góc với phương diện phẳng xác minh bởi hai đường thẳng song song $a$ cùng $b$ không ?

Trả lời:


Không vày trái với định lí ($a // b$ thì $a$ với $b$ không giảm nhau)

Dưới đấy là phần hướng dẫn giải bài xích 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 104 105 sgk Hình học tập 11. Các bạn hãy hiểu kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

circologiannibrera.com reviews với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập hình học 11 kèm bài xích giải đưa ra tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 104 105 sgk Hình học tập 11 của bài bác §3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng vào Chương III. Vectơ trong không gian. Dục tình vuông góc trong không khí trong khía cạnh phẳng cho chúng ta tham khảo. Nội dung cụ thể bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

*
Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 104 105 sgk Hình học tập 11

1. Giải bài 1 trang 104 sgk Hình học 11

Cho hai tuyến phố thẳng sáng tỏ (a,b) cùng mặt phẳng ((alpha)). Các mệnh đề sau đây đúng giỏi sai?

a) nếu như (a//(alpha)) với (bot (alpha)) thì (aot b).

b) nếu (a//(alpha)) với (bot a) thì (bot (alpha)).


c) giả dụ (a//(alpha)) cùng (b// (alpha)) thì (b//a).

d) nếu như (aot (alpha)) cùng (bot a) thì (b// (alpha)).

Bài giải:

a) Đúng (theo tính chất).

b) Sai. Do thiếu điều kiện: mong mỏi (bot (alpha)) thì $b$ cần vuông góc cùng với $2$ con đường thẳng cắt nhau vào $(alpha )$.

c) Sai. Vị $a$ và $b$ tất cả thể chéo cánh nhau hoặc cắt nhau.

d) Sai. Vị $b$ có thể nằm trong $(alpha )$.

2. Giải bài xích 2 trang 104 sgk Hình học tập 11

Cho tứ diện $ABCD$ có hai phương diện $ABC$ cùng $BCD$ là nhì tam giác cân có chung lòng $BC$. điện thoại tư vấn $I$ là trung điểm của cạnh $BC$.

a) minh chứng rằng $BC$ vuông góc với phương diện phẳng $(ADI)$

b) call $AH$ là mặt đường cao của tam giác $ADI$, chứng tỏ rằng $AH$ vuông góc với khía cạnh phẳng $(BCD).$

Bài giải:

*

a) Tam giác (ABC) cân nặng tại (A) đề nghị ta gồm đường trung đường ứng cùng với cạnh lòng đồng thời là con đường cao vì chưng đó: (AIot BC)

Tương từ ta có: (DIot BC)

Ta có:

(left. matrixAI ot BC hfill crDI ot BC hfill crAI cap DI = m I m hfill cr ight} Rightarrow BC ot (ADI))

b) Ta gồm (AH) là con đường cao của tam giác (ADI) phải (AHot DI)

Mặt khác: (BCot (ADI)) nhưng mà (AHsubset (ADI)) bắt buộc (AHot BC)

Ta có

(left. matrixAH ot BC hfill crAH ot DI hfill crBC cap DI = m I m hfill cr ight} Rightarrow AH ot (BCD))

3. Giải bài xích 3 trang 104 sgk Hình học 11

Cho hình chóp (S.ABCD) bao gồm đáy là hình thoi (ABCD) và gồm (SA=SB=SC=SD).Gọi (O) là giao điểm của (AC) và (BD). Chứng minh rằng:

a) Đường trực tiếp (SO) vuông góc với khía cạnh phẳng ((ABCD));

b) Đường thẳng ( AC) vuông góc với khía cạnh phẳng ((SBD)) và đường thẳng (BD) vuông góc với phương diện phẳng (SAC).

Bài giải:

*

a) Theo đưa thiết (SA=SC) cần tam giác (SAC) cân tại (S)

Có: (O) là giao của nhị đường chéo hình bình hành đề xuất (O) là trung điểm của (AC) cùng (BD).

Do đó (SO) vừa là trung tuyến đồng thời là mặt đường cao vào tam giác (SAC)

⇒ (SOot AC) (1)

Chứng minh tương tự như ta được: (SOot BD) (2)

Từ (1) cùng (2) ta có:

$left.eginmatrix SO& perp AC \ SO& perp BD \ AC& cap BD endmatrix ight}Rightarrow SOperp (ABCD)$

b) (ABCD) là hình thoi gồm $AC,BD$ là nhì đường chéo nên (ACot BD) (Tính hóa học hình bình hành) (3)

Từ (1) và (3) ta có:

$left.eginmatrix SO& perp AC \ AC& perp BD \ SO& cap BD endmatrix ight}Rightarrow ACperp (SBD)$

Từ (2) và (3) ta có:

$left.eginmatrix SO& perp BD \ AC& perp BD \ SO& cap AC endmatrix ight}Rightarrow BDperp (SAC)$

4. Giải bài bác 4 trang 105 sgk Hình học 11

Cho tứ diện (OABC) có cha cạnh (OA, OB, OC) đôi một vuông góc. điện thoại tư vấn (H) là chân mặt đường vuông góc hạ trường đoản cú (O) tới phương diện phẳng ((ABC)). Chứng minh rằng:

a) $H$ là trực tâm của tam giác (ABC);

b) (frac1OH^2=frac1OA^2+frac1OB^2+frac1OC^2.)

Bài giải:

*

Kéo nhiều năm $AH$ giảm $BC$ tại $E, CH$ giảm $AB$ tại $K.$

a) minh chứng $H$ là trực trung tâm tam giác ABC.

(H) là hình chiếu của (O) bên trên mp ((ABC)) (gt) bắt buộc (OH ⊥ (ABC) Rightarrow OH ⊥ BC) (Tính chất)

Mặt khác: (OA ⊥ OB), (OA ⊥ OC) (gt) nhưng $OB cap OC$

(Rightarrow OA ⊥ (OBC) Rightarrow OA ⊥ BC) (Tính chất)

Ta có:

$left.eginmatrix OH& perp BC \ OA& perp BC \ OH& cap OA endmatrix ight}Rightarrow BCperp (OAH)$

mà: (AHsubset (OAH) Rightarrow BC ⊥ AH) (1)

Chứng minh tương tự: (OA ⊥ OC), (OB ⊥ OC) (gt) nhưng mà $OA cap OB$

(Rightarrow OC ⊥ (OAB) Rightarrow OC ⊥ AB) (Tính chất)

Ta có:

$left.eginmatrix OH& perp AB \ OC& perp AB \ OH& cap OC endmatrix ight}Rightarrow ABperp (OHC)$

mà: (CHsubset (OHC) Rightarrow AB ⊥ HC) (2)

Từ (1) (2) (Rightarrow H) là trực trung ương của tam giác (ABC).

b) Chứng minh: (frac1OH^2=frac1OA^2+frac1OB^2+frac1OC^2)

Trong khía cạnh phẳng ((ABC)) vì (E = AH ∩ BC), (OH ⊥ (ABC)), (AE ⊂ (ABC) Rightarrow OH ⊥ AE) tại (H); (OA ⊥ (ABC), OE ⊂ (ABC) Rightarrow OA ⊥ OE)

⇒ (OH) là mặt đường cao của tam giác vuông (OAE)

⇒ (frac1OH^2=frac1OA^2+frac1OE^2) (3)

Mặt khác (OE) là mặt đường cao của tam giác vuông (OBC)

⇒ (frac1OE^2=frac1OB^2+frac1OC^2)

Thay vào (3) ta có:

(frac1OH^2=frac1OA^2+frac1OE^2 =frac1OA^2+frac1OB^2+frac1OC^2.)

5. Giải bài xích 5 trang 105 sgk Hình học tập 11

Trên khía cạnh phẳng ((α)) mang lại hình bình hành (ABCD). Hotline (O) là giao điểm của (AC) với (BD). (S) là một trong điểm nằm bề ngoài phẳng ((α)) làm sao để cho (SA = SC, SB = SD). Minh chứng rằng:

a) (SO ⊥ (α));

b) ví như trong phương diện phẳng ((SAB)) kẻ (SH) vuông góc với (AB) tại (H) thì (AB) vuông góc phương diện phẳng ((SOH)).

Bài giải:

*

a) Theo trả thiết: (SA = SC) đề nghị tam giác (SAC) cân nặng tại (S).

Lại có: (O) là trung điểm của (AC) nên (SO) là con đường trung tuyến đường đồng thời là đường cao của tam giác cân $SAC$ nên (SOot AC)

Chứng minh tương tự như với $SB=SD$, $O$ là trung điểm của $BD$ ta có: (SOot BD)

Ta có:

$$left. matrixSO ot BD hfill crSO ot AC hfill crBD cap AC = m O hfill cr ight} Rightarrow SO ot (ABCD)$$

Hay (SO ⊥ mp(α)) (đpcm).

b) (SO ⊥ (ABCD) Rightarrow SO ⊥ AB) (1)

Mà (SH ⊥ AB) (gt) (2)

Từ (1) và (2) ta có;

$$left. matrixSO ot AB hfill crSH ot AB hfill crSO cap SH = m S hfill cr ight} Rightarrow AB ot (SHO)$$

6. Giải bài 6 trang 105 sgk Hình học 11

Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy là hình thoi (ABCD) và tất cả cạnh (SA) vuông góc với khía cạnh phẳng ((ABCD)). điện thoại tư vấn (I) cùng (K) là hai điểm lần lượt rước trên hai cạnh (SB) cùng (SD) làm sao cho (fracSISB=fracSKSD.) chứng minh:

a) (BD) vuông góc với (SC);

b) (IK) vuông góc với khía cạnh phẳng ((SAC)).

Bài giải:

*

a) Ta có: $BDperp AC$ (tính hóa học đường chéo cánh hình thoi)

Lại có: $SAperp (ABCD)$ (gt)

$BDsubset (ABCD)Rightarrow BDperp SA$

Ta có: $left.eginmatrix BD& perp AC \ BD& perp SA \ AC& cap SA endmatrix ight}Rightarrow BDperp (SAC)$

mà $SCsubset (SAC)Rightarrow BDperp SC$.

b) Theo giả thiết (fracSISB=fracSKSD) theo định lí Ta-lét ta tất cả (IK//BD)

Từ chứng tỏ câu a) ta có:

$BDperp (SAC)$ $Rightarrow IKperp (SAC)$

7. Giải bài bác 7 trang 105 sgk Hình học 11

Cho tứ diện (SABC) gồm cạnh (SA) vuông góc với mặt phẳng ((ABC)) và có tam giác (ABC) vuông trên (B). Trong khía cạnh phẳng ((SAB)) kẻ trường đoản cú (AM) vuông góc cùng với (SB) trên (M). Bên trên cạnh (SC) rước điểm (N) làm thế nào cho (fracSMSB=fracSNSC.) chứng tỏ rằng:

a) (BC ⊥ (SAB)) với (AM ⊥ (SBC));

b) (SB ⊥ AN).

Bài giải:

*

a) bệnh minh: $BCperp (SAB)$

Theo đưa thiết: $SA perp (ABC)$ mà $BCsubset (ABC)Rightarrow SAperp BC$

Tam giác ABC vuông tại B bắt buộc $ABperp BC$

Vậy: $left.eginmatrix SA& perp BC \ AB& perp BC \ SA& cap AB endmatrix ight}Rightarrow BCperp (SAB)$

Chứng minh: $AMperp (SBC)$

Ta có: $AMsubset (SAB),BCperp (SAB)Rightarrow BCperp AM$

Vậy: $left.eginmatrix AM& perp BC (cmt)\ AM& perp SB (gt) \ BC& cap SB endmatrix ight}Rightarrow AMperp (SBC)$

b) Theo giả thiết: (AM ⊥ (SBC)) đề xuất (AMot SB)

Giả thiết (fracSMSB=fracSNSC) nên theo định lí Ta – lét ta có: (MN// BC)

Mà (BCot SB) (do (BCot (SAB))) cho nên vì thế (MNot SB)

Vậy:

$left.eginmatrix MN& perp SB (cmt)\ AM& perp SB (cmt) \ AM& cap MN endmatrix ight}Rightarrow SBperp (AMN)Rightarrow SBperp MN$

8. Giải bài xích 8 trang 105 sgk Hình học 11

Cho điểm (S) ko thuộc thuộc mặt phẳng ((α)) gồm hình chiếu là điểm (H). Với điểm (M) bất kì trên ((α)) với (M) không trùng với (H), ta hotline (SM) là mặt đường xiên và đoạn (HM) là hình chiếu của đường xiên đó. Chứng tỏ rằng:

a) hai đường thẳng xiên đều nhau khi và chỉ khi nhị hình chiếu của chúng bởi nhau;

b) Với hai tuyến phố xiên cho trước, con đường xiên như thế nào lớn hơn thế thì có hình chiếu to hơn và trái lại đường xiên nào tất cả hình chiếu lớn hơn nữa thì lớn hơn.

Bài giải:

*

Gọi (SN) là 1 đường xiên khác.

a) Xét nhì tam giác vuông (SHM) với (SHN) bao gồm (SH) cạnh chung.

Nếu (SM = SN Rightarrow ∆SHM = ∆SHN (c-g-c))

(Rightarrow HM = HN).(2 cạnh tương ứng)

Ngược lại nếu (HM = HN) thì (∆SHM = ∆SHN (c-g-c))

(Rightarrow SM = SN). (2 cạnh tương ứng)

Vậy: Hai đường thẳng xiên cân nhau khi và chỉ còn khi nhì hình chiếu của chúng bởi nhau.

b) Xét tam giác vuông (SHM) với (SHN) tất cả (SH) cạnh chung.

Giả sử (SN > SM)

Áp dụng định lí Pytago vào nhị tam giác vuông (SHM) cùng (SHN) ta được:

(HM^2=SM^2-SH^2)

(HN^2=SN^2-SH^2)

(Rightarrow hn > HM).

Ngược lại: trả sử $HN>HM$

Áp dụng định lí Pytago vào hai tam giác vuông (SHM) với (SHN) ta được:

(SM^2=HM^2+SH^2)

(SN^2=HN^2+SH^2)

(Rightarrow SN > SM).

Vậy: Với hai đường xiên mang lại trước, đường xiên nào lớn hơn thế thì có hình chiếu to hơn và trái lại đường xiên nào tất cả hình chiếu lớn hơn vậy thì lớn hơn.

Xem thêm: Ngoài Công Lập Là Gì ? Quy Định Về Đơn Vị Sự Nghiệp Ngoài Công Lập?

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc chúng ta làm bài giỏi cùng giải bài tập sgk toán lớp 11 với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 104 105 sgk Hình học 11!

“Bài tập nào nặng nề đã gồm circologiannibrera.com“


This entry was posted in Toán lớp 11 và tagged bài 1 trang 100 sgk Hình học 11, bài bác 1 trang 104 hình học tập 11, bài xích 1 trang 104 sgk Hình học 11, bài 2 trang 100 sgk Hình học 11, bài xích 2 trang 104 hình học 11, bài 2 trang 104 sgk Hình học 11, bài xích 2 trang 104 sgk Hình học tập 11, bài xích 3 trang 104 hình học tập 11, bài bác 3 trang 104 sgk Hình học 11, bài bác 3 trang 104 sgk Hình học tập 11, bài 3 trang 105 sgk Hình học 11, bài xích 3 trang 105 sgk Hình học tập 11, bài 4 trang 105 hình học tập 11, bài xích 4 trang 105 sgk Hình học 11, bài xích 4 trang 105 sgk Hình học tập 11, bài bác 5 trang 105 hình học 11, bài 5 trang 105 sgk Hình học tập 11, bài 5 trang 105 sgk Hình học 11, bài 6 trang 105 hình học 11, bài 6 trang 105 sgk Hình học 11, bài xích 6 trang 105 sgk Hình học tập 11, bài xích 7 trang 105 hình học 11, bài bác 7 trang 105 sgk Hình học tập 11, bài bác 7 trang 105 sgk Hình học tập 11, bài 8 trang 105 hình học 11, bài xích 8 trang 105 sgk Hình học tập 11, bài bác 8 trang 105 sgk Hình học tập 11, câu 1 trang 100 hình học tập 11, Câu 1 trang 100 sgk Hình học 11, Câu 1 trang 104 sgk Hình học 11, câu 2 trang 100 hình học 11, Câu 2 trang 100 sgk Hình học 11, Câu 2 trang 104 sgk Hình học tập 11, Câu 3 trang 104 sgk Hình học 11, Câu 3 trang 105 sgk Hình học 11, Câu 4 trang 105 sgk Hình học 11, Câu 5 trang 105 sgk Hình học 11, Câu 6 trang 105 sgk Hình học tập 11, Câu 7 trang 105 sgk Hình học 11, Câu 8 trang 105 sgk Hình học 11.